اینترنت

داشتم فکر می‌کردم که احتمالا چند وقت پیش ترامپ و رفقا نشسته بودند کاخ سفید در این اندیشه که ما همه چیز را تحریم کردیم جواب نداد دیگر چه را تحریم کنیم که این‌ها پاره بشوند؟ یکی ایده داده که اینترنت را تحریم کنید تمام بشود برود، بعد همه ذوق زده شروع به فراهم کردن مقدمات تحریم اینترنت کردند و دو دل از ارزیابی فایده هزینه و .... که یک هو دیدند یا شِت مقدس! این‌ها خودشان اینترنت را قطع کردند!

 

پ.ن: در کتاب فلسفه شوخی می‌گفت که تراژدی و کُمدی برادر نزدیک هم هستند.

ناتمامیت ربکا گولدستین

دیشب تمامش کردم، بی‌نهایت زیبا، بی‌نهایت هیجان‌انگیز و بی‌نهایت بصیرت‌بخش بود. کتاب راجع به قضیه گودل، پیش‌زمینه‌ها و واکنش‌های آدمها به این قضیه بود. طرح کلی اثبات قضیه گودل را هم نوشته بود و تا جایی که با اصل اثبات آن در کتاب منطق ریاضی اندرتون مقایسه می‌کنم، به محتوای اصلی قضیه وفادار بود. برای منی که همین چند هفته پیش اثبات قضیه گودل را به صورتی کاملا فنی خوانده بودم، خواندن حواشی این اثبات، انگیزه‌های خود گودل و فضای فکری آن زمان بی‌اندازه جذاب بودند. این هیجان آنقدری بود که بعد از جز و کل هایزنبرگ یکی از معدود کتابهایی بود که از تمام شدنش دلگیر شدم. گرچه گاهی اوقات ترجمه‌اش نامفهوم می‌شد اما روی هم رفته بسیار جذاب بود.

البته نمی‌توانم انکار کنم بخش قابل توجهی از جذابیت این کتاب بابت شرح تقابل دیدگاه ریاضی ویتگنشتاین با گودل بود، این دو غول اندیشه، این دو نابغه و این هر دو ارجمند برای من، اما یکی متعهد به صورت گرایی و بازی‌بودگی ریاضی و دیگری افلاطون‌گرایی تمام عیار معتقد به عینیت ریاضی! در واقع این درگیری تا حدودی برای من موضوعی شخصی محسوب می‌شود، موضوع صدق ریاضی همیشه برای من (و ملت) عجیب  و جذاب است و مناقشات بین این دو غول به نظر می‌رسد که راهی برای من باز می‌کند برای معنای عقلانیت که نهایتا دنبال آن هستم.

صدق ریاضی یعنی چه؟ از گذشته‌های دور صدق قضایای ریاضی عجیب بود، آنها همیشگی و ازلی به نظر می‌رسیدند و به نظر ربطی به مکان و زمان و تجربه نداشتند، اما چطور با استنتاج، به چیزی که همیشه و همه جا درست است می‌رسیم؟ می‌توان صدق قضایای ریاضی را به صدق اصل‌های ریاضی تحویل کرد که خود آن اصل‌ها هم بدیهی هستند، به همین خاطر استنتاج از اصولِ «شهوداً» بدیهی قضایایی به دست می‌دهد که باید برقرار باشند. اما صدق این قضایا واقعا یعنی چه؟ صدق «اکنون اینترنت قطع است» را به راحتی می‌فهمیم، «اینترنت» و «قطعی» و «اکنون» در دنیای بیرون مابه ازا دارند و صادق و کاذب بودن آن معلوم است (که متاسفانه الان صادق است :)) ) اما آیا مثلا 1+2=3 واقعا در جهان برقرار است؟ برای برقراری واقعی 1+2=3 باید 1 و 2 و 3 و + (و =) در دنیای بیرون ما به ازا داشته باشند، افلاطون پیشنهادی می‌دهد: بله واقعا دارند! قضایا و اصل‌های ریاضی در جهانی شبیه مُثُل افلاطونی واقعا به طور لامکان و لازمان و جاودان وجود دارند و ما با عقل محدود و این جهانی خودمان به این قضایای همیشه درست (لااقل بخشی از آن) دسترسی داریم (مطمئن نیستم ولی ظاهرا بخشی از استدلال افلاطون برای اثبات این که ما پس از مرگ هم زنده هستیم همین است که ما با این موضوعات جاودان ارتباط داریم بنابر این وجود ما یک قسمت جاودانی هم دارد) اغلب حتی صدق این قضایا مستقل از هر تجربه‌ای فرض می‌شود. این صدق مستقل از تجربه* بسیار وسوسه انگیز است و بر اساس ادعای کتاب، همین باعث شده ریاضی راهنمای خردگرایان تاریخ همچون دکارت و اسپینوزا و لایبنیتز باشد: با عقل و شروع از قضایای بدیهی و استنتاج، همیشه می‌توان به قضایایی کاملا درست رسید بدون این که وارد دنیای شلوغ و گول زننده و کثیف تجربه شد (مضاف بر این، برتری استنتاج، ضرورت قطعی آن است در حالی که تجربه از استقرا کمک می‌گیرد که نتیجه آن هرگز اطمینان بخش نیست)، پس ما باید این الگوی ریاضی را در مورد فلسفه و فیزیک هم به کار بگیریم تا جهان را بفهمیم، بدون ارجاع زیادی به تجربه. مجموع این دیدگاه ها با افلاطون گرایی در ریاضی همپوشانی دارد: ریاضیات واقعیتی مستقل از ماست که ما آنها را شهود می‌کنیم و همیشه صادق است. (گودل و پنروز صریحا از چشم سوم ریاضی دانان صحبت می‌کنند، بسیاری را دیده‌ام که در پاسخ این پرسش که:« چطور چنین اثبات شبیه جادوگری برای قضیه فلان پیدا شده؟» پاسخ می‌دهند که آن ریاضی دان قضیه را شهود کرده و در نهایت شهود خودش را صوری کرده و اثبات را نوشته، حتی خود گودل هم قضیه ناتمامیت خود را در دفاع از دیدگاه افلاطونی‌اش منتشر کرده: ریاضیات را نمی‌توان به رشته نماد تقلیل داد، شهود تا ابد نقش مهمی در ریاضی دارد و این شهود است که تعیین کننده است، اما شهود باید معطوف به چیزی باشد، آن چیز اشیای جهان افلاطونی است)!

از دیگر سو تجربه‌گراها که روی هم رفته تمام معرفت بشر را حاصل از تجربه می‌دانستند، با صدق جاودانی و «پیشینی» قضایای ریاضی در تکاپو بودند، راه حل نهایی نه ارجاع قضایای ریاضی به جهان افلاطونی (که راز آمیز جلوه می‌کرد) بلکه تقلیل ریاضی به صورت‌هایی بی‌معنی و بدون ما به ازای خارجی بود: صرفا قواعد بازی با نمادهای صوری؛ ریاضیات صادق است چون بر طبق قواعد ریاضی است، صدق و کذب را قواعد ریاضی مشخص می‌کند و این صدق و کذب ربطی به دنیای بیرون ندارد. ویتنگشنتاین (هم متقدم و هم متاخر، شاید جزو معدود جاهایی که ویتگنشتاین متقدم و متاخر با هم موافق‌اند) نهایتا یکی از پخته‌ترین دیدگاه‌ها را به نفع صورتگرایی انجام می‌دهد، ویتگنشتاین تا حد زیادی با ایده بازی‌های زبانی، مشکل صدق ریاضی را حل (که چه عرض کنم نابود) می‌کند، به نظر ویتگنشتاین (تا جایی که من می‌فهمم) صدق ریاضی صرفا به خاطر تعهد به قواعد است و آن بیرون هیچ ریاضیاتی در کار نیست و هیچ صدقی هم در کار نیست، شاید بتوان با در نظر گرفتن وجود مدل‌های ناسازگاری مثل هندسه اقلیدسی و نااقلیدسی این ایده ویتگنشتاین را جدی‌تر گرفت (در نگاه افلاطونی، بالاخره هندسه اقلیدسی صادق است یا نا اقلیدسی؟) ریاضیات همانقدر صادق است که بازی شطرنج، بازی شطرنج شاید مدل خوبی از سیاست باشد اما اساسا سوال از صدق آن مسخره است، ریاضیات شاید دنیای ما را به خوبی مدل کند (البته ظاهرا خود ویتگنشتاین هیچ نیازی به این نمی‌بیند که بگوید ریاضی جهان ما را واقعا خوب مدل می‌کند) اما پرسش از صدق آن بی‌معنی است، صدق جاودان آن فقط به خاطر قواعد است، وگرنه جهان افلاطونی واقعا باید چطور باشد که 1+2=3 نباشد؟

تمام این مناقشات و مباحثات برای من حیاتی است، چون در نظر من ریاضیات همان کاری را می‌کند که فیزیک انجام می‌دهد، اما در سطحی نسبتا انتزاعی‌تر، از نظر من مرز قابل تشخیص و تیزی بین ریاضی و فیزیک وجود ندارد، برای همین از نظر من «شهود ریاضی» هم تفاوت آنچنانی با «شهود فیزیکی» که کاملا حاصل از عادت به تجربه است، ندارد. بنا بر این اگر ریاضی را به مثابه بازی زبانی یا قواعد بی‌معنی بفهمیم، باید فیزیک را هم این‌گونه بفهمیم، اگر به فیزیک ارزش معرفت‌شناسانه «عینی» بدهیم، به ریاضی هم باید بدهیم، این دو اساسا یک چیز هستند بنابر این فلسفه ریاضی از اساس برای من برادر فلسفه علم محسوب می‌شود و مهم است. به نظرم همین ایده راه را برای آشتی دادن ایده بازی‌های زبانی و جهان عینی باز می‌کند و شاید بتواند من را از این گرداب «قواعد انتخاب پارادایم» بیرون ببرد: بالاخره چه دیدگاهی عقلانی است؟

*صدق مستقل از تجربه و پیشینی ریاضی به نظر من حرف دقیقی نیست، چه راسل تجربه‌گرا سعی کند با نشان‌ دادن این که «ریاضی همان منطق است» آن را نشان بدهد و چه گودل سعی کند با نشان دادن قضیه‌اش به ما بقبولاند که ریاضی امری است آن‌جهانی که ما با چشم سوم شهود می‌کنیم، به نظر من ریاضی از ابتدا در برخورد با طبیعت شکل گرفته و ابدا ماهیت پیشینی ندارد، ریاضی قواعدی است که ما عادت داریم با آن دنیا را ببینیم و این قواعد چنان در زبان و توری معرفت ما تنیده شده‌اند که به سختی می‌توان غیر از آن را تصور کرد. این ادامه همان ایده من است که شهود ریاضی در اصل همان شهود فیزیکی است، برای داشتن شهود لازم نیست حتما تمام حقیقت را بدانیم، فیزیک ارسطویی هم پر از شهود بود و فیزیک‌دانان ارسطویی واقعا راجع به طبیعت شهود داشتند، گرچه امروز آن شهود پذیرفته نیست اما به هر حال شهود بود. به همین معنی ما ریاضی را هم شهود می‌کنیم و من نیازی نمی‌بینم برای وجود این شهود به جهان افلاطونی متوسل بشوم. این شهود ریاضی اساسا سطحی بالاتر و انتزاعی‌تر از همان شهود روزمره فیزیکی است و معطوف به همین جهان است.

پ.ن، عقل‌گرایی و افلاطون‌گرایی: به نظرم تناقضی در ارتباط دادن عقل‌گرایی با افلاطون‌گرایی هست، افلاطون‌گرایی اتفاقا سعی می‌کند صدق ریاضی را به تجربه ربط دهد: تجربه کردن جهان مُثُل افلاطونی، اما عقل گرایی سعی می‌کند از توسل به هر گونه شهود ضعیفی بپرهیزد و از مسائل «برای همه بدیهی» شروع کند و استنتاج کند تا هرگز مشکلی پیش نیاید، عقل‌گرایی از این جهت کاملا روح مشابهی با صورت‌گرایی هیلبرت یا اثبات‌گرایی منطقی حلقه وین دارد، گرچه همیشه عقل‌گرایی دیدگاهی در مقابل تجربه‌گرایی تصویر می‌شود اما تجربه‌گرایی منطقی اروپای قرن بیستم به نظرم ترکیب عقل‌گرایی دکارتی و اسپینوزایی با تجربه‌گرایی هیوم و لاک است، روش‌ها همچنان روش‌های استنتاج عقل‌گرایان است و فقط صدق پیشینی و عینی برخی قوانین به نفع تجربه گرایی کنار گذاشته می‌شود، شاید این همان ترکیبی است که کانت ایجاد می‌کند و نکته طنزی است که ادامه کانت از یک سو به ایده‌آلیست‌های مغلقی چون هگل می‌رسد و از سوی دیگر به سنت اثبات‌گرایی صریحی چون راسل که دشمن خونی هگل است! نمی‌دانم ولی راجع به ارتباطشان مطمئن نیستم.

پ.ن کتاب: اول می‌خواستم کتاب «فلسفه تحلیلی چیست» را شروع کنم که به نظر انتخابی منطقی بعد از «کواین» بود اما ارائه قضیه گودل به بچه‌های اتاق از یک طرف و موضوعات فوق‌العاده هیجان‌انگیز کتاب ناتمامیت از سوی دیگر باعث شد که فعلا مغزم به وادی فلسفه ریاضی قفلی بزند، کتاب‌هایی که الان در دستور کارم هستند «فلسفه  ریاضی» استیفن بارکر به علاوه «جامعه شناسی اثبات ریاضی» «فلسفه براوئر» و شاید «از ارسطو تا گودل» است. فلسفه تحلیلی چیست بماند برای بعد از این‌ها.

پ.ن1: کتاب چنان جذبم کرد که لحظه‌ای دلم نمی‌خواست آن را زمین بگذارم و این تا حد زیادی این روزهای بی‌اینترنت را برایم دلپذیر کرد، چه چیزی بهتر از این که مزاحمی نباشد تا این موضوع جذاب را بخوانم.

پ.ن2: واقعا خدا را شکر که حداقل این وبلاگ لود می‌شود (البته فقط با اینترنت دیتا!!! :|||| )

پ.ن3: چه آبان پر پُستی داشتم :))  هر چند ظاهرا فقط دارم برای خودم می‌نویسم.

پ.ن4: معنای عقلانیت هر چه باشد مطمئنم گفت و گو بخش مهمی از آن است نه قطع راه گفت و گو!

قضیه گودل

دیروز و پریروز برای بچه‌های اتاق دکتری‌مان راجع به قضیه گودل کلی حرف زدم و حرف زدیم. در همین حرف زدن‌ها توصیفی از قضیه گودل به ذهنم رسید که احساس می‌کنم قلب و عُمق قضیه گودل است بدون نیاز به جزئیات فنی آن (گرچه این فهم و توصیفات هیچ وقت بدون درگیر شدن با جزئیات به دست نمی‌آید)

 

همه داستان از جایی شروع می‌شود که گودل نشان می‌دهد هر زیرنظریه‌ای خاص از نظریه اعداد که در آن ضرب و تقسیم نمایش‌پذیر باشد این قدرت را دارد تا عبارت‌های ریاضی (به شرط این که به اندازه کافی صوری‌سازی شده باشد) را برای هر زبان شمارا رمزگذاری کرده و استنتاج‌ها و اثبات‌ها را با محاسبه انجام دهد. یعنی من به هر عبارت در هر زبان صوری می‌توانم یک عدد نسبت بدهم که عدد گودل عبارت است سپس به جای استنتاج از جمله A به جمله B، یک محاسبه با ضرب و تقسیم خواهم داشت که از عدد جمله A شروع می‌شود و به عدد جمله B می رسد* اما این باعث یک توانایی خفن می‌شود: نظریه اعداد می‌تواند در باره خودش حرف بزند! اما چطور؟  جملات نظریه اعداد راجع به اعداد هستند، اما اگر جملات را بتوانیم به عدد تبدیل کنیم آنگاه جملات نظریه اعداد راجع به خودشان (که فقط عدد هستند) حرف خواهند زد. از اینجا می‌توان پارادکس‌های مربوط به خودارجاعی را ساخت و قضایای فوق‌العاده جذابی را نشان داد. برای مثال در ادامه می‌خواهم نشان دهم که اگر کسی فرض کند فرمولی در نظریه اعداد وجود دارد که صدق و کذب همه جملات را مشخص می‌کند آنگاه می‌توان جمله متناقض «من دروغ می‌گویم»  را ساخت و از این تناقض نتیجه گرفت که چنین فرمولی و در نتیجه چنین الگوریتمی که بتواند صدق و کذب همه جملات نظریه اعداد را تعیین کند وجود ندارد.

 

مثلا فرض کنید کسی ادعا کند فرمولی چون N وجود دارد که اگر عدد گودل یک جمله (همان عددی که به هر جمله نسبت می‌دهیم) در آن صدق کند حتما آن جمله در نظریه اعداد راست است و اگر عدد گودل آن جمله در N صدق نکند حتما آن جمله در نظریه اعداد نادرست  یا کاذب است. اگر چنین فرمولی وجود داشته باشد من به راحتی فرمول نقیض آن مثل B را می‌سازم که اگر عدد گودل یک جمله در B صدق کند آنگاه آن جمله در نظریه اعداد نادرست است یا کاذب است و برعکس. اگر چنین Nی وجود داشته باشد قطعا چنین Bی وجود دارد. حالا می‌ماند ساخت جمله «من کاذب هستم». ساخت این جمله از روی جمله B(S) ،یا ترجمه‌اش که می‌شود: «S کاذب است» ،چندان سخت نیست. اگرچه چون B فقط راجع به جملات نظر می‌دهد نه فرمول‌ها (و خود B یک فرمول است به این معنی که صدق و کذب عبارت «S کاذب است» وابسته به S است) ساخت جمله «من کاذب هستم» آنچنان هم سرراست نیست اما چندان هم سخت نیست: چون من می‌توانم به کمک B که یک فرمول در نظریه اعداد است صدق و کذب جمله‌های نظریه اعداد را بفهمم، آنگاه می‌توانم صدق و کذب فرمول‌هایی که در خودشان صدق می‌کنند یا نمی‌کنند را هم بسجنم کافی است عدد گودل هر فرمول مثل A(v) را در خودش جاگذاری کنم و سپس جمله حاصل را (در واقع عدد گودلش را) در B جاگذاری کنم، یعنی اگر عدد گودل فرمول A(v) برابر a باشد آنگاه معنی B(A(a)) در واقع «A(a) کاذب است» است.  بنابر این می‌توان به راحتی فرمولی بسازم که بگوید «فرمول A(v) در خودش صدق نمی‌کند»، نام این فرمول را Bp(A(v)) بگذارید، پس معنی Bp(A(v)) این است که «جاگذاری فرمول A(v) در خودش کاذب است». حالا اگر کودکانه بپرسیم که اگر فرمول Bpرا در خودش جاگذاری کنیم چه می‌شود؟ ترجمه Bp(Bp) می‌شود «جاگذاری فرمول Bp در خودش کاذب است» اما این همان «جاگذاری فرمول Bp در خودش» است و این یعنی جمله «من کاذب هستم» به دست آمده :)) بنا بر این چنین B و چنین Nی وجود ندارد و اعداد طبیعی تعریف پذیر نیست با هیچ الگوریتمی در هیچ زبانی!

 

از عدم تعریف‌پذیری نظریه اعداد نتیجه می‌شود که نظریه اصول موضوعی اعداد هم تمام نیست بنا بر این اگر اصول موضوع نظریه اعداد در مثلا نظریه مجموعه‌ها قابل تعریف باشد آنگاه نظریه مجموعه‌ها هم تمام نیست.

 

به همین ترتیب و به روشی نسبتا مشابه می‌توان نشان داد اگر نظریه اعداد سازگار باشد جمله «من اثبات نمی‌شوم» را هم می‌توان ساخت و این جمله در هر نظامی که ضرب و تقسیم در آن قابل نمایش باشد قابل ساخت است (ساخت فنی این جمله به گونه‌ای است که اگر بتوانیم نقیض این جمله را اثبات کنیم انگار اثبات کرده‌ایم که برای «من اثبات نمی‌شوم» اثباتی وجود دارد، بنا بر این هم خودش و هم نقیض‌اش قابل اثبات نیست برای جزئیات فنی به پست منطق ریاضی 7 رجوج کنید) از طرفی  به نجوی نشان داده‌ام که «اگر نظریه A سازگار باشد آنگاه جمله «من اثبات نمی‌شوم» وجود دارد» پس اگر کسی بتواند از خود A سازگاری A را اثبات کند آنگاه گویی اثباتی از A برای «من اثبات نمی‌شوم» ساخته است و این تناقض است، یعنی سازگاری A را نمی‌تواند در خودش اثبات کرد و این باز یعنی هر نظام ریاضی که بتواند نظریه اعداد را بسازد، (دست کم آن زیرنظریه‌ای که ضرب و تقسیم دارد) آنگاه این نظام نمی‌تواند سازگاری خودش را ثابت کند.

 

درسی که من از این قضیه و این بیان می‌گیرم این است که صوری سازی می‌تواند ما را به شدت محدود کند گرچه جلو کژتابی و زمین خوردن را می‌گیرد اما به قیمت این که به ما می‌گوید اصلا راه نروید!

 

*در واقع به طور کلی ظاهرا ملت نشان داده اند که هر الگورتیمی که توسط ماشین تورینگ قابل اجرا باشد، می‌تواند به دستور محاسبه‌ای در نظریه اعداد تبدیل شود که در آن فقط به توانایی محاسبه ضرب و تقسیم نیاز داریم و نه بیشتر، به جای الگوریتم‌های نمادی می‌توانیم با ضرب و تقسیم بین اعداد کار کنیم بنا بر این اگر الگوریتمی وجود داشته باشد که به اندازه کافی صوری سازی شده باشد آن الگوریتم در نظریه اعداد با جمع و ضرب نمایش پذیر است، چه این الگوریتم اثبات ریاضی باشد چه فرایند تفکر.

کهن‌الگو‌ها

در پی شخصیت‌شناسی‌های سارا و گشت و گذار او در بین نظریه‌های شخصیت، از من خواست که من هم تست کهن‌الگو‌ها را بدهم* بعد از دادن تست سه کهن‌الگو برای من کاملا غالب بودند و بقیه آنها تقریبا غایب، به ترتیب: هادس (دنیای مردگان) ، هفائستوس (فلزکاری و صنعتگری) و دیونیسوس (شراب و میگساری). آنچه برای من و سارا عجیب بود وجود هادس و دیونیسوس با هم بود، هادس شخصیتی به شدت سرد و تلخ است، تقریبا هیچ کدام از امور دنیایی برایش اهمیت ندارد و تقریبا هیچ وقت خوشحال نمی‌شود، حداقل مراوده را با اطراف دارد و شدیدا درونگرا است، هادس چنان شخصیتی است که هیچ کس نمی‌تواند فقط هادس داشته باشد وگرنه می‌میرد! از طرف دیگر دیونیسوس بسیار شاد و شوخ و لذت‌طلب است، از نامش هم پیداست، خدای شراب و میگساری ( البته که من اهل نوشیدنی الکلی نیستم :)) ). در همین احوال یاد نوشته‌ای از خودم افتادم که دقیقا چهار سال پیش نوشته بودم، نوشته‌ای که به خاطر بازی پرشین‌بلاگ حذف شده بود، اما بخش مهم آن این است:

 

حدس می‌زنم در من دو شخصیتِ کاملا متفاوت زندگی می‌کند یکی پر شور و حرارت است، به هر چیزی می‌خندد، حتی در اوجِ بدبختی و در شرفِ به فنا رفتن، عاشقِ سر و صدا راه انداختن است و چرت و پرت گفتن، عاشقِ غذا خوردن و هیجان، نترس است و کله شق، تا حدِ زیادی هم احمق و مغرور (اما خودشیفته نیست) همه چیز و همه کس را مسخره می‌کند، حتی خودش را، دنیا برایش یک شوخی خنده دار است، آماده است تا با هر مشکلی رو به رو شود، عبایی از چیزی ندارد، هر چیزی را که احساس کند محدودش کرده می‌تواند رها کند. با این حال سطحی است و بی‌ملاحظه، بی عاطفه و بی‌وجدان، از چیزی ناراحت نمی‌شود، هیچ آینده‌ای برایش معنی ندارد، هیچ گذشته‌ای هم برایش ارزش ندارد، در یک کلام، تنها ارزش برای این شخصیت زمانِ حال است.

شخصیتِ دیگری هم هست که به لحاظِ تاریخی سابقه‌ی بیشتری دارد ، تا حدی خجالتی است و کمتر خودش را رو می‌کند، تقریبا همه‌ی نقاطِ قوتِ شخصیتِ قبل در واقع نقاطِ ضعفِ این یکی‌ست، و برعکس. این یکی آرام است و گریزان از هیجان، حدِ بالایش یک تبسمِ آرام است، از کتاب خواندن و فهمیدنِ هر چیزی لذت می‌برد اما با آرامش، باید هر چیزی را با بند بندِ وجودش درک کند، برای همین هم شلوغی (به معنی عامِ کلمه یعنی پر از مولفه بودن) را دوست ندارد، نمی‌تواند شلوغی را با تمامِ وجود درک کرد کند و انرژی‌اش هدر می‌رود، فکر کنم هیچ کس نمی تواند. هیچ چیز برایش خنده‌دار نیست، جدی است و منطقی، برای هر چیزی ارزش قائل است، پر از عاطفه است و وجدان، دوست دارد عاطفه‌اش را به عزیزانش نشان بدهد، که البته معمولا شخصیتِ اولی نمی‌گذارد، و شاید خجالتی بودنِ خودش هم مزیدِ بر علت است، بفهمی نفهمی کمی تمِ افسردگی هم دارد، تا مدتی قبل احساسِ تنهایی هم می‌کرد، مخصوصا وقتی شخصیتِ اولی بیشتر خودش را به بقیه نشان می‌داد او هم بیشتر احساسِ تنهایی می‌کرد. شاید به همین خاطر خیلی از هم خوششان نمی‌آیند، شخصیتِ دومی محطاط و ترسو هم هست، تنها چیزی که اصلا جدی نمی‌گیرد خودش است، حساس و زودرنج است، نه از دیگران، از خودش و کارهایش، احساس می‌کند که همیشه کم‌کاری کرده، همیشه تقصیرِ اوست، نگرانِ آینده است و دلخورِ گذشته. خلاصه خسته است...... خیلی....... خسته.

 

گرچه نه شخصیت دومی دقیقا مطابق هادس است و نه شخصیت اولی دقیقا مطابق دیونیسوس اما این که چهار سال پیش بدون کوچکترین دانشی از کهن‌الگو‌ها چنین نگاهی به خودم داشتم باعث شد کمی راجع به این کهن‌الگو‌ها نظرم تغییر کند، ظاهرا چیزی برای گفتن دارند.

*گشت و گذار سارا در شخصیت برایش یک موضوع شخصی است، تمام عمر به خاطر تفاوت‌هایی که با اطرافش داشته در چالش بوده (چالش‌هایی که حتی هنوز هم تمام نشده) و بعد فهمیده که تمام این چالش‌ها را می‌توان با ایده «شخصیت» صورت‌بندی کرد، همین مسئله را برایش بی‌نهایت جذاب و حیاتی کرده اما از طرفی ایده شخصیت‌های متفاوت در پیوند با ایده پارادایم‌ها باعث شده که نسبی‌گرایی در هر دوی ما عمیق بشود.

پ.ن ادامه: با توجه به این که نوشته بالا ادامه هم دارد و اصل آن هم پاک شده، ادامه‌اش را اینجا می‌گذارم:

کدامشان منم؟

نمی‌دانم! شاید هر دو....

نمی‌دانم اصلا این نوع تحلیل درست و دقیق است که آدم برای خودش دو یا چند شخصیت قائل باشد یا نه؟ به هر حال چیزی که باعث شد این طور به قضیه نگاه کنم این بود که این ویژگی‌های ذکر شده برای هر شخصیت با هم همبسته‌اند، یعنی با هم ظاهر می‌شوند، طوری که در بازه‌های زمانی مختلف می‌توانم آدمِ کاملا متفاوتی به نظر برسم. شاید نیروهای مختلفی هستند، مثلِ ایده‌ی اسپینوزا که می‌گوید آدمی تحتِ تاثیر و کششِ قوای متفاوت است، درست مثلِ یک سنگ، تصمیمِ آدم محصولِ برایندِ این قوا هستند، فقط باید تنظیم شوند، جایی که لازم است احساسات را کنار بگذارم، چیزی را رها کنم یا تصمیمِ هولناکی بگیرم، اولی ظهور کند، جایی که لازم باشد احساساتم را نشان بدهم، دومی. شاید هم شخصیتِ اول فقط یک چیزِ ظاهری است که ساخته‌ام تا ضعفهای شخصیتِ دومم را بپوشانم، درست همان طور که بعضی دیگر از نظریه‌های روان‌شناسی می‌گوید که بسیاری از ویژگی‌های آدمی محصولِ تلاش برای پوشاندنِ ضعفها هستند. اما چرا اولی را عارضی می‌گیرم؟ چرا فکر می‌کنم در واقع دومی‌ام نه اولی؟ شاید چون شخصیت دومی‌ام به نظرم ضعیف است، شاید هم به این علت که اولی بودن برایم انرژی‌بر است و وقتی انرژی تمام می‌شود، تبدیل می‌شوم به دومی، در واقع فکر می‌کنم تبدیلی در کار نیست، پوسته‌ای که وجودش انرژی می‌خواهد دیگر نیست. شاید هم دومی همان اولی خسته است، نمی‌دانم. شاید هم به این دلیل که دومی می‌تواند عمیقتر احساس کند، شاید به این خاطر که دومی را کمتر کسی می‌شناسد، شاید به این خاطر که وقتی از دومی می‌نویسم احساس می‌کنم واقعا دارم از خودم و چیزی که هستم می‌نویسم (شاید هم فقط دومی نویسنده‌ی خوبی است). با این حال دوست ندارم شخصیت اولی را هم از خودم ندانم، دوست ندارم فکر کنم برای آدم‌های اطرافم نقش بازی کرده‌ام، ترجیح می‌دهم آن را به خاطرِ پتانسیل‌هایش نگه دارم، بالاخره یک کله شقِ درون بعضی جاها لازم است، خیلی وقت‌ها برای ادامه دادنِ زندگی به چنین روحیه‌ای نیاز است، با این که وجودش از من انرژی می‌گیرد اما این انرژی بهای معقولی برای خوبی‌های شخصیتِ اولی است. گمانم باید خیلی روی خودم کار کنم تا بتوانم هر دو شخصیت را درست تربیت کنم تا به موقع و به جا عمل کنند.

 

پ.ن کتاب: مدخل کواین از فلسفه استنفورد را خواندم و تمام کردم، چیز زیادی دستگیرم نشد چون متنش بی اندازه مبهم و غیرمفهوم بود (فکر کنم مترجم زیادی به متن اصلی وفادار بوده) اما تصمیم گرفتم «فلسفه تحلیلی چیست؟» را شروع کنم، شاید بعد از آن دوباره به کواین برگردم.

 

پ.ن آهنگ: بعضی آهنگ‌های ماکس ریشتر شدیدا آن قسمت هادسم را قلقلک می‌دهند، مثل این:

https://www.youtube.com/watch?v=WuvZWDsl1I0

منطق ریاضی8 و آخر:منطق مرتبه دو و بالاتر

خب خوشبختانه فصل منطق مرتبه ۲ سریع تمام شد تا یک سال و دو هفته دست به گریبان بودنم با این موضوع تا حدی پایان یابد و بالاخره بتوانم به سراغ کتابهای دیگری که در کتابخانه خاک می‌خورند بروم. البته دلیل سریع تمام شدنش غیر از نحیف بودن این فصل این هم بود که قبلا پیش پیش خوانده بودم. راستش موضوع زیادی دستگیرم نشد که بنویسم چون هر دو کتاب خیلی خلاصه و سربسته نوشته بودند. اما چیزهایی که فهمیدم را می‌نویسم تا داشته باشم:

 

در منطق مرتبه دو سورها به جای اشیا روی رابطه‌ها و تابع‌ها هم قابل اعمال است و این زبان غنی‌تری در اختیار ما می‌گذارد که توانایی بیان بسیار بالاتری نسبت به منطق مرتبه اول دارد. مثلا اصل استقرا در منطق مرتبه اول در واقع یک شِما یا قالب اصل موضوعه است نه یک اصل، اما در منطق مرتبه دوم این یک اصل است. موضوع دیگر این است که ملت نشان داده‌اند در منطق مرتبه دو، تمام مدل‌های آنالیز و حساب نظریه اعداد یکریخت هستند و این خیلی خوب است.

 

اما مشکلاتی هم در مقابل این قدرت بیان بالا وجود دارد، اولین مشکل از قدرت بیان زیاد این منطق سرچشمه می‌گیرید! در این منطق برخلاف منطق مرتبه اول می‌توان جمله «بی‌نهایت شی وجود دارد» را فرمال کرد (در نتیجه می‌توان جمله «متناهی شی وجود دارد» را هم بر خلاف منطق مرتبه اول فرمال کرد) مشکل چیست؟ فرض کنید من مجموعه جمله‌های زیر را داشته باشم:

 

1. نقیض «بی‌نهایت شی وجود دارد» (یعنی «متناهی تا شی وجود دارد»)

 

2.حداقل دو شی متمایز وجود دارد

 

3.حدااقل سه شی متمایز وجود دارد

 

و الی آخر، هر زیرمجموعه متناهی از این مجموعه جمله‌ها مدل دارد اما مدلی وجود ندارد که همه این مجموعه جمله‌ها را با هم برقرار کند. بنا بر این قضیه فشردگی که می‌گفت «اگر هر زیرمجموعه متناهی از یک مجموعه جمله مدل داشته باشد آنگاه کل آن مجموعه جمله هم مدل دارد» برقرار نیست، اما ما می‌دانیم قضیه فشردگی از قضیه تمامیت منطق ناشی می‌شود یعنی اگر در هر دستگاه منطقی با هر مرتبه‌ای قضیه تمامیت برقرار باشد آنگاه قضیه فشردگی هم باید برقرار باشد بنابر این در منطق مرتبه دو تمامیت برقرار نیست، به این معنی که نمی‌توان تمام همان‌گوها را استنتاج کرد!

 

مشکل دیگر انتقادی است که کواین دارد: منطق مرتبه دو بعضی اصول نظریه مجموعه‌ها را به طور منطقی معتبر می‌داند، بنا بر این منطق نیست بلکه همان نظریه مجموعه‌هاست! یا به قول خود کواین «گرگی در لباس میش است!» کواین معتقد است منطق باید خنثی باشد یا موضوع نداشته باشد بنابراین نباید اصول موضوع نظریه مجموعه‌ها در منطق برقرار باشد. این انتقاد از یک طرف موجه است، بنیادگرایان ریاضی معتقداند کل ریاضیات را می‌شود بر مبنای نظریه مجموعه‌ها بیان کرد، اگر رد غلیظی از نظریه مجموعه‌ها در منطق مرتبه دوم حضور داشته باشد آنگاه تحویل ریاضیات به منطق موجه خواهد بود اما ظاهرا نقدهای بسیاری (که نمی‌دانم چیستند) به این اعتقاد «تحویل ریاضی به منطق» وارد است. اما به نظر من این انتقاد وارد نیست، نه از این جهت که کواین به اشتباه منطق مرتبه دو را ریاضی می‌داند، بله منطق مرتبه دو تصویر تاری از ریاضیات را در خود دارد، بلکه به اشتباه فکر می‌کند هیچ ردی از ریاضی در منطق مرتبه اول وجود ندارد، من کتاب منطق ریاضی را خواندم که بفهمم منطق نسبی است (به این معنی که به موضوع مورد بررسی‌اش وابسته است) و واقعا دیدم که هست، حالا کواین انتظار داشت نباشد!؟ خُب انتظارش زیادی بود :)) (احساس می‌کنم راجع به این موضوع و فلسفه ریاضی باید بیشتر بخوانم، این هم از آن موضوعات بی‌نهایت جذاب است)

 

مشکل دیگری هست که این را در ویکی خواندم: ظاهرا می‌توان نشان داد هیچ منطق مرتبه بالاتری نمی‌تواند وجود داشته باشد که هر سه این خواص را با هم داشته باشد:

 

1. کامل باشد (قضیه تمامیت برقرار باشد)

 

2. درست باشد (قضیه درستی برقرار باشد)

 

3. نظریه برهان الگوریتمی (بخوانید بازگشتی) داشته باشد.

 

چرا که در غیر این صورت با توجه به این که نظریه اعداد در منطق مرتبه دو متناهیا اصل پذیر است در صورت برقراری این سه شرط باید جملات درست در نظریه اعداد بازگشتی باشند اما قضیه گودل نشان می‌دهد که نیست!

 

این موضوع منطق مرتبه دو و مناقشات مربوط به آن شاید از این جهت برای من جالبتر بود که اولا تاییدی بر همان اعتقاد من است که منطق نسبی است و هیچ جدایی معقولی از نحو و معنا را حتی در موضوعی ساده مثل منطق ریاضی نمی‌توان انجام داد (منطق مرتبه اول قدرت بیان و اثبات بسیاری از چیزها را ندارد و منطق مرتبه دو هم مشکلات خودش را دارد و علاوه بر آن با ریاضی مشترکات بسیاری دارد) و ثانیا این که با توجه به این که زبان رسمی ریاضی مرتبه دو است (حتی تمام اثبات‌های منطق مرتبه اول عملا در منطق مرتبه دو انجام می‌شود به این معنی که فرازبانی که اثبات‌های منطق مرتبه اول در آن انجام می‌شود جدا از زبان منطق مرتبه اول و قضایای آن است و عدم این جدایی تناقض‌برانگیز است)، علامتی از این می‌دهد که احتمالا عقلانیت را نمی‌توان الگوریتمی کرد و برای آن فرمول و نسخه و صورتبندی تهیه کرد، عقلانیت موضوعی شهودی است و مورد به مورد ملزومات آن فرق دارد. حتی در موضوع ساده‌ای چون ریاضی، چه برسد به موضوعات پیچیده فلسفی و انسانی.

 

پ.ن1:، در مورد پارگراف آخر باید بیشتر بخوانم اما عجالتا با این خوانش، کار منطق خواندن من دست کم از کتاب اندرتون و دکتر اردشیر تمام شد. بعدا کتابهای زیادی از فلسفه ریاضی و مقالات بسیاری از منطق هست که باید بخوانم، موضوع فلسفه تحلیلی نیز هم.

 

پ.ن:هووووف، بالاخره تمام شد، خُب، موضوع و کتاب بعدی چه باشد؟ :))

منطق ریاضی 7 :تصمیم ناپذیری و قضیه گودل

 

و بالاخره بعد از چهار ماه جان کندن لابه لای کارهای دانشگاه و پروژه برقی‌ام این فصل را خواندم، هوراااااااا، علی رغم این که فکر می‌کردم به خاطر پدری که در بخش منطق مرتبه اول از من در آمد، این قسمت سرازیری است و سریع می‌خوانم اما کلا یک فضای دیگر بود، در واقع اصلا ربطی به منطق مرتبه اول ندارد و پدرم هم در اینجا در آمد! این قسمت را متاسفانه فقط کتاب اندرتون داشت و همین کار را برایم بیشتر مشکل می‌کرد.

تصمیم پذیری چیست؟ تعریف تصمیم پذیری تا اینجا یک تعریف شهودی بود: روشی کارآمد وجود دارد که در متناهی گام تعیین کند s عضو S  است یا خیر. به همین جهت می‌شُد نشان داد که بعضی چیزها تصمیم پذیر هستند: مثلا می‌شود نشان داد نظریه اعداد همراه با تالی تصمیم پذیر است (به این معنی که می‌توان نشان داد هر جمله یا عضو نظریه است یا نیست( تصمیم پذیری این نظریه به این خاطر است که این نظریه اصل پذیر متناهی است و تمام هم هست با توجه به این که نظریه حاصل از هر مدل یا ساختار اصولا تمام است، پس اگر نظریه‌ای که از مجموعه اصول موضوعه به دست می‌آید هم تمام باشد به این معنی است که این نظریه با نظریه ساختارش یکی است، چون هر گزاره یا خودش در نظریه است یا نقیض‌اش بنا بر این دو نظریه تمام در یک زبان اگر سازگار باشند با هم یکی هستند. اما این نظریه تصمیم پذیر هم هست چرا که تمام جملات از استنتاج‌های متناهی از اصول موضوعه به دست می‌آیند بنابراین روش تصمیم‌گیری شمارش قضایای اصول موضوعه است که به خاطر تمام بودن نظریه بالاخره به آن می‌رسیم، نکته‌ای که باید به خاطر داشته باشیم این است که نظریه اصل‌پذیر و تمام حتما تصمیم‌پذیر است.

اما دردسری وجود دارد: با تعریف شهودی تصمیم پذیری ما حداکثر می‌توانیم نشان دهیم بعضی چیزها تصمیم پذیر هستند، اما نمی‌توانیم نشان دهیم بعضی چیزها (مخصوصا چیزهای صوری) تصمیم‌پذیر نیستند! (از کجا بدانیم روشی وجود ندارد؟) تعریف ما از تصمیم‌پذیری تا اینجا چیزی شبیه تعریف شهودی پیوستگی است: یک خم پیوسته است اگر بتوان بدون بلند کردن قلم تمام آن را رسم کرد. به جای این تعریف شهودی باید تعریفی از تصمیم پذیری ارائه داد که صوری باشد (مثل تعریف  اپسیلون و دلتا از پیوستگی تا بتوان با آن اثبات های بیشتری انجام داد و پیوستگی بسیاری از خمها را آزمود، تعریف صوری این خوبی را دارد که می‌توان مثلا نشان داد بعضی وضعیت‌ها به تناقض می‌رسند مثلا فرض پیوستگی تابع دیرکله غیر ممکن است، البته منظور از صوری بودن اینجا صوری بودن مرتبه اول نیست، صوری بودن اینجا مفهومی به مراتب شهودی تر از منطق مرتبه اول دارد که در آن عبارت‌های ریاضی  دنباله‌ای از نمادها هستند، با این همه آنقدر صوری هست که بتوان با آن اثبات ریاضی در زبان عادی ریاضی انجام داد، درست مثل تعریف اپسیلون و دلتا).

خُب، حالا جور دیگری می‌پرسیم: نظیر یا همزاد صوری تصمیم‌پذیری چیست؟ نمایش پذیری در یک نظریه سازگار و اصل‌پذیر متناهی! نمایش پذیری یعنی چه؟ قبل از آن بیاید اول راجع به تعریف پذیری حرف بزنیم. وقتی رابطه‌ای مثل R در یک ساخت تعریف پذیر است به این معنی‌ست که فرمولی وجود دارد که آن رابطه را تعریف کند، مثلا در نظریه اعداد دارای جمع، به راحتی می‌توان فرمولی نوشت که فقط یک متغیر آزاد دارد و فرمول فقط و فقط وقتی برقرار است که عدد زوج در آن جای‌گذاری شود به این ترتیب رابطه زوج بودن در نظریه اعداد شامل جمع قابل تعریف است (ولی در نظریه اعداد شامل فقط صفر و تالی قابل تعریف نیست، یعنی نمی‌توان فرمولی مرتبه اول نوشت که بتواند فقط برای اعداد زوج برقرار باشد) نمایش‌پذیری گرچه شبیه تعریف پذیری است اما با آن متفاوت است، نمایش پذیری یک رابطه R در یک نظریه مثل T  یعنی فرمولی وجود دارد که رابطه R را در ساخت معادل نظریه تعریف می‌کند (یعنی رابطه باید تعریف پذیر باشد) و این که به ازای هر جاگذاری فرمول، یا خود فرمول عضو T باشد یا نقیض آن. بنا بر این اگر نظریه T از مجموعه‌ای از اصول موضوعه به وجود آمده باشد، آنگاه نمایش‌پذیری یعنی این که از اصول موضوعه بتوان درستی یا نادرستی فرمول را به ازای هر ورودی استنتاج کرد اما در صورتی که نظریه T از یک ساختار به وجود آمده باشد آنگاه رابطه R در صورت تعریف‌پذیر بودن نمایش پذیر هم هست. و برای بار آخر: تصمیم پذیری یعنی نمایش‌پذیری در یک نظریه سازگار و اصل‌پذیر متناهی! تاکید می‌کنیم (و کتاب نیز هم) که این یک تعبیر صوری از مفهوم شهودی تصمیم‌پذیری است و هنوز باید تضمین کنیم هر رابطه تصمیم‌پذیر واقعا در یک نظریه اصل‌پذیر متناهی قابل نمایش است (و این تضمین قطعا به فرم اثبات نیست وگرنه اصلا نیازی به تعریف صوری نبود!)

و گودل ما تازه اینجا وارد ماجرا می‌شود: گودل با ایده‌ای هوشمندانه، بررسی عبارت‌ها را تبدیل می‌کند به محاسبه اعداد، بنا بر این شما می‌توانید تعریفی  از تصمیم پذیری داشته باشید که به زبان نظریه اعداد است، اما چطور؟ گودل به هر عبارتی در منطق مرتبه اول (در هر زبان شمارا) یک عدد طبیعی یکتا نسبت می‌دهد که به آن عدد گودل عبارت می‌گویند. بنا بر این دست کم برای زبان‌های شمارا می‌توان نشان داد جمله‌ها و عبارت‌ها به اعداد تبدیل می‌شوند و استنتاج‌ها به محاسبه تبدیل می‌شوند به همین خاطر می‌توانیم به جای بررسی جمله‌ها، اعداد را بررسی کنیم و به جای نظریه جمله‌ها نظریه اعداد را نگاه کنیم! نظریه اعداد خاصی که برای کار گودل لازم است فقط نیاز به اصول موضوعه اصلی حساب پئانو دارد ؛ جمع و ضرب و تالی تعریف شوند، همین! نام این نظریه را  TAE می‌گذاریم. بعد نشان می‌دهد که تمام اعمال منطقی و استنتاج‌ها دقیقا معادل محاسباتی نمایش‌پذیر در TAE هستند. بنا بر این به یک نتیجه شگفت آور می‌رسد:

هر رابطه‌ای که در یک نظریه اصل‌پذیر متناهی نمایش‌پذیر است، در TAE  نیز نمایش‌پذیر است!

ظاهرا قبلا ریاضی دان ها تعریف کرده بودند: رابطه‌ای که در یک نظریه با صفر و تالی نمایش‌پذیر باشد بازگشتی است بنا بر این محتوای این نتیجه این است که

 هر رابطه‌ی تصمیم‌پذیری بازگشتی است!

بنابراین بازگشتی بودن به معنی تصمیم‌پذیر بودن است. (بازگشتی اینجا به آن معنی بازگشتی که شهودا با آن آشناییم نیست، بلکه دقیقا یعنی همین نمایش پذیر بودن در زبانی با صفر و تالی است! ظاهرا این نامگذاری فقط دلایل تاریخی دارد) از این به بعد من به جای نمایش‌پذیر بودن در TAE ، از کلمه «بازگشتی» بودن استفاده می‌کنم. با این اوصاف ایده تعریف تصمیم‌پذیری با بازگشتی بودن آنچنان هم بد نیست، واقعا ما انتظار داریم هر فرایند تصمیم گیری قابل نمایش در یک نظریه اصل‌پذیر باشد، در واقع حتی بیشتر از این، تمام ماشین‌های محاسبه ایده‌آل مثل ماشین تورینگ تمام اعمالی را که انجام می‌دهند بازگشتی است و بنابراین قابل نمایش در TAE، پس خیلی هم ایده بدی نیست که بگوییم تصمیم‌پذیری یعنی بازگشتی بودن.

اما برویم سراغ تصمیم ناپذیری برای شروع بیاید یک لم ثابت کنیم، لم نقطه ثابت: برای هر فرمول دلخواه در نظریه اعداد مثل B(v)  (که v متغیر فرمول است) می‌توان جمله‌ای مثل s یافت که s برقرار است اگر و فقط اگر B(#s) برقرار باشد (#s یعنی عدد گودل جمله s) برای اثبات کافی است بدانیم تابعی وجود دارد که به ازای هر فرمول A(v) (که v متغیر آزاد فرمول است) مقدار #A(#A) را محاسبه می‌کند (واقعا در TAE محاسبه پذیر است، باور کنید!) اسم این تابع را f می‌گذارم که ورودی‌اش فرمول است (در واقع عدد گودل فرمول) و خروجی‌اش عدد گودل همان فرمول وقتی که عدد گودل خودش درون خودش جایگذاری شده یعنی اگر عدد گودل فرمول A(v)، r  باشد آنگاه A(r) یک جمله است و f(r)=#(A(r)). حالا فرمول جدید C(t)را در نظر بگیرید که فقط وقتی برقرار است که B(f(t)) برقرار باشد (این فرمول قطعا وجود دارد به زبان شهودی C(t)=B(f(t)) است). فرض کنید عدد گودل این فرمول q است یعنی q=#C(t) حالا اگر این عدد را درون خود فرمول C(t)جای‌گذاری کنیم چه می‌شود؟ طبق تعریفِ C، C(q) اگر و فقط اگر B(f(q)) و با توجه به این که f(q)=#C(q) آنگاه C(q) اگر و فقط اگر B(#C(q)) و این یعنی C(q) همان جمله s است! پس لم اثبات شد.

خُب حالا این لم به چه دردی می‌خورد؟ فرض کنید کسی ادعا کند نظریه اعداد (یعنی نظریه ساختاری با صفر و یک و تالی و جمع و ضرب) نمایش‌پذیر است  و این یعنی فرمولی وجود دارد مثل N(t) که عدد گودل یک جمله مثل G را می‌گیرد و برقرار است اگر G در نظریه اعداد برقرار باشد و برقرار نیست اگرG  در نظریه اعداد برقرار نباشد، فرض کنید B معادل نقیض N باشد یعنی B(t) برقرار است اگر و فقط اگر ورودی‌اش عدد گودل جمله‌ای نادرست از نظریه اعداد باشد. حال با استفاده از لم بالا برای B می‌دانیم جمله‌ای مثل s در نظریه اعداد وجود دارد که B(#s) برقرار است اگر  فقط اگر s برقرار باشد. حالا اگر s جمله‌ای باشد که در نظریه اعداد برقرار است به این معنی است که B(#s) باید برقرار باشد اما این تناقض است چون طبق تعریف B،  B(#s) برقرار است اگر و فقط اگر s جمله‌ای نادرست از نظریه اعداد باشد و برعکس، اگر s واقعا جمله‌ای نادرست از نظریه اعداد باشد آنگاه B(#s) طبق تعریف B باید برقرار باشد اما می‌دانیم B(#s)  برقرار است اگر و فقط اگر s برقرار باشد (یعنی جمله‌ای درست از نظریه اعداد باشد) با توجه به این تناقض چنین B وجود نداشته و چنین N هم وجود ندارد بنابراین نظریه اعداد نه تنها بازگشتی نیست بلکه حتی عدد گودل جمله های درست اساسا تعریف پذیر نیست.

اما هنوز به خود قضیه گودل یک قدم مانده‌ایم: اگر TAE تمام باشد آنگاه باید راجع به هر گزاره تصمیم گیری کند، اما می‌دانیم که این معادل تصمیم پذیر بودن نظریه اعداد است که ثابت کردیم نظریه اعداد حتی تعریف پذیر هم نیست چه برسد به تصمیم پذیر بودن (اگر یک نظریه اصل پذیر متناهی، تمام باشد آنگاه تصمیم پذیر است). قضیه حتی بدتر از این است،: نه تنها TAE تمام نیست بلکه حتی تصمیم پذیر هم نیست (یعنی نمی توان تعیین کرد که یک گزاره دلخواه قضیه TAE است یا خیر) و حتی بدتر، هیچ نظریه سازگار با TAE  هم تصمیم پذیر نیست! چگونه؟ به دو روش می‌توان این مطلب را ثابت کرد، یکی به اثبات خود گودل نزدیکتر است و دیگری به اثبات قبلی، آن اثبات نزدیک به گودل را بعدا در نظریه مجموعه‌ها می‌گویم اما الان اثبات نزدیک قبلی را استفاده می‌کنم. فرض کنید یک نظریه سازگار با TAE داریم، اجتماع این دو نظریه را T بنامید، این نظریه حتما غیر بازگشتی است مگر این که ناسازگار باشد، فرض کنید بازشگتی باشد یعنی مثل قبل N(v) برقرار باشد اگر و فقط اگر ورودی‌اش عدد گودل جمله‌ای عضو T باشد. در آن صورت B(v) را به عنوان نقیض N در نظر بگیرید بر اساس لم نقطه ثابت جمله‌ای مثل s  (در نظریه اعداد) وجود دارد که s برقرار است اگر و فقط اگر B(#s) برقرار باشد، حالا سوال اینجاست که آیا s عضو T است یا خیر، با توجه به این که می‌دانیم TAE جمله «s اگر و فقط اگر  B(#s)» را نتیجه می‌دهد (همان کار هوشمندانه گودل و لم نقطه ثابت) آنگاه T هم باید  «s اگر و فقط اگر  B(#s)» را نتیجه دهد (چون اجتماع TAE با نظریه‌ای جدید است) در نتیجه اگر s عضو T باشد آنگاه طبق تعریفِ B ، نباید B(#s) برقرار باشد اما طبق لم نقطه ثابت B(#s) برقرار است، برعکس اگر s عضو T  نباشد طبق تعریفِ B باید B(#s) برقرار باشد آنگاه طبق لم نقطه ثابت s هم عضو T است. بنا بر این چنین B یا N وجود ندارد و T و TAE غیر بازگشتی هستند (از همینجا نتیجه می‌شود که همانگوهای شامل پارامتر‌های نظریه اعداد اساسا غیر بازگشتی یا تصمیم ناپذیر است)

اما حالا کاربرد قضیه گودل چیست؟ این همه زور زدیم و حرف زدیم تا تازه فقط درون نظریه اعداد اثباتش کنیم اما قرار است چه کار کند؟ خُب قدم به قدم پیامدهایش را بررسی می‌کنیم:

اول، نظریه مجموعه‌ها را در نظر بگیرید، نظریه مجموعه‌ها نظریه‌ای است که از اصول تسرملو فرانکل و استنتاج‌های روی آن ساخته می‌شود. اصول حساب پئانو را می‌شود درون نظریه مجموعه‌ها بیان کرد، به طور دقیق‌تر می‌توان تعبیری از TAE  به درون قسمتی از نظریه مجموعه‌ها داشت. اما ما می‌دانیم که TAE بازگشتی نیست، بنابر این آن قسمت نظریه مجموعه‌ها ( و در نتیجه کل نظریه مجموعه‌ها) بازگشتی نیست. این غیربازگشتی بودن شامل هر دستگاه اصول موضوعه‌ای می‌شود که بتواند اصول حساب پئانو را در آن بیان کرد. این قضیه به طور کلی برنامه هیلبرت را نابود کرد! هیلبرت به عنوان یک صورتگرا ادعا داشت که ریاضیات چیزی جز دنباله‌ای از نمادها و قواعد استنتاج نیست بنابر این دنبال اصول موضوعه مناسب و کافی بود تا بتواند کل ریاضیات را بر آن سوار کند، گودل نشان داد که اگر ریاضیات را این‌گونه ببینیم همواره با معضل گزاره‌های اثبات‌ناپذیر (یا تصمیم‌ناپذیر) رو به رو خواهیم بود (چون هر چنین بیانی از ریاضی باید دست کم نظریه اعداد را هم بیان کند).

دوم، باز برگردیم به نظریه مجموعه‌ها، اثباتی شبیه به اثبات گودل برای ناتمام بودن نظریه مجموعه‌ها هست که نتیجه بدتری دارد، و آن این که اثبات سازگاری نظریه مجموعه‌ها درون خودش غیرممکن است. فرض کنید رابطه‌ای دوتایی مثل D داریم به این معنی که D(a,c) برقرار است اگر و فقط اگر a عدد گودل فرمول A(v) باشد و c عدد گودل استنتاجی برای  A(a) باشد. (بله، استنتاج‌ها هم خودشان عدد گودل دارند که از عدد گودل عبارت متفاوت است) تصور این که رابطه D بازگشتی است سخت نیست. بنابراین فرمولی مثل d وجود دارد که d(a,c) برقرار است اگر و فقط اگر c عدد گودل استنتاجی برای A(a) باشد (a عدد گودل فرمول A(v) است) حال این فرمول را در نظر بگیرید:

«به ازای هر c داریم که d(a,c) برقرار نیست»

نام این فرمول را B(a) بگذارید، مهم نیست که درستی این فرمول را چطور می‌توان تحقیق کرد مهم اینجاست که این فرمول قابل تعریف است و ورودی آن عدد گودل یک فرمول دیگر است، حالا فرض کنید عدد گودل این فرمول b باشد، آنگاه سوال اینجاست که جمله B(b) قابل اثبات است؟ یا نقیض‌اش؟ اگر نقیض B(b) را بتوان اثبات کرد ، آنگاه طبق تعریف B ، ما نقیض این جمله را اثبات کرده‌ایم که «به ازای هر c داریم که d(a,c) برقرار نیست» ولی نقیض این جمله با توجه به تعریف d یعنی برای B(b) اثباتی وجود دارد :)) اما اگر بتوانیم B(b) را استنتاج کنیم آنگاه طبق تعریف B ما این جمله را اثبات کرده‌ایم که «به ازای هر c، d(b,c) برقرار نیست» ولی برقراری این جمله یعنی نمی‌توان B(b) را ثابت کرد! در کل به شرط سازگاری نظریه TAE (و هر نظریه‌ای که اجتماع آن با این نظریه سازگار باشد) نه می‌توان B(b) را ثابت کرد نه می‌توان نقیض B(b) را ثابت کرد و این همان قضیه گودل به فرم اصلی اثبات آن است که می‌گوید نظریه اعداد TAE و هر نظریه که اجتماع آن با TAE  سازگار باشد، ناتمام است و گزاره‌ای هست که نه نقیض‌اش ثابت می‌شود و نه خودش! حالا بیاید با این قصه‌ها B(b) را درون نظریه مجموعه‌ها تعبیر کنیم، با توجه به ساختار B(b) و نحوه ساختن آن، تعبیر B(b) در نظریه مجموعه‌ها معادل این جمله شهودی است که: «من در نظریه مجموعه‌ها قابل رد و اثبات نیستم» دقت کنید که این جمله درون گیومه دقیقا همان تعبیر B(b)  در نظریه مجموعه‌ها است. اگر بتوانیم تعبیری صوری از سازگاری نظریه مجموعه‌ها داشته باشیم، آنگاه چیزی که ثابت کرده‌ایم این است که اگر نظریه مجموعه‌ها سازگار باشد آنگاه B(b) و دوباره به یاد بیاورید که B(b) یعنی من در نظریه مجموعه‌ها قابل رد و اثبات نیستم. حالا اگر بتوانیم سازگاری نظریه مجموعه‌ها را ثابت کنیم، با توجه به این که ما قبلا ثابت کردیم «اگر نظریه مجموعه‌ها سازگار باشد آنگاه B(b)» انگار که اثباتی برای B(b) عرضه کرده‌ایم اما B(b) یعنی این که من اثباتی ندارم! بنابر این اثبات سازگاری نظریه مجموعه‌ها درون نظریه مجموعه‌ها غیر ممکن است، و حتی بدتر، هر نظام اصول موضوعی که بتواند قضایای اصلی حساب را ثابت کند نمی‌تواند سازگاری خود را اثبات کند. و این شامل برنامه هیلبرت هم می‌شود!

این دو پیامد قضیه گودل، یعنی ناتمامی نظام‌هایی که دست کم به اندازه نظریه اعداد قوی هستند و عدم توانایی اثبات سازگاری آنها درون خودشان، نسبتا مستقیم و سرراست هستند. اما قصه دامنه‌دارتر از این حرف‌هاست. این نظام اصول موضوعی اصلا لازم نیست درون منطق مرتبه اول یا حتی درون ریاضی باشند، کافی است به قدر کافی قوی باشند که بتوان نظریه اعداد را درون آنها تعبیر کرد و قضایای اصلی را اثبات کرد، چنین چیزی به وضوح قابل برگرداندن به TAE است پس تصمیم‌ناپذیری و عدم اثبات سازگاری برای آن هم قابل تعمیم است. قصه حتی از این هم فراتر است، هر فرایند الگوریتم پذیری می‌تواند به درون TAE ترجمه شود (چرا که طبق فرض چرچ هر فرایند محاسبه الگوریتمی مثل ماشین تورینگ یک فرایند بازگشتی است یعنی قابل ترجمه به اعداد گودل و قابل بررسی در TAE است) بنا بر این هر فرایند الگوریتمی چه منطق مرتبه بالا باشد چه ماشین محاسبه، اگر بتواند قضایای اصلی حساب را به درون خودش ترجمه کند آنگاه دچار محدودیت خواهد بود. شاید بهتر باشد بعدا در پستی مفصل راجع به پیامدهای این قضیه صحبت کنم اما تا اینجا این جزئیات اثبات را گذاشتم تا خودم هم بعدا به آن رجوع کنم.

پ.ن چطو شد که ایطو شد: پارسال این موقع که کتاب منطق ریاضی را دست گرفتم تازه ویتگنشتاین و فایرابند را دوباره خوانده بودم و مشتاق بودم بدانم منطق چگونه نسبی است، علاوه بر آن کلا  موضوع فلسفه ریاضی و بنیان منطقی آن برایم جالب بود. تابستان امسال که بخش های اصلی منطق ریاضی را تمام کردم رسیدم به قضیه ناتمامیت گودل، قبلا خیلی راجع به آن شنیده بودم گفتم تا اینجا که آمده ام بگذار این قسمت را هم درست بخوانم تا ببینم درد این قضیه چیست، موضوع تصمیم ناپذیری از طرفی برای من موضوعی شخصی هم بود، خوب یادم می‌آید دژ ریاضی آن موقعی برایم کامل فرو ریخت که فهمیدم گزاره‌های تصمیم ناپذیر وجود دارند. قبل از آن من موجودی پوزیتیویست بودم که ادعا داشت هر چیزی را باید به طور دقیق تعریف کرد و تنها با این تعاریف دقیق می‌توان به نتیجه عقلانی رسید. عقلانیت هم از دیدگاه من چیزی الگوریتم‌وار بود که بعد از تعریف دقیق چیزها دیگر ابهامی در دیگر مسائل باقی نمی‌گذاشت و با کاربست یک عقلانیت کاملا روشمند (که تجلی اعلای آن ریاضی است) می‌توان جهان را «درست» فهمید. در این نگاه هر چه که عقلانیت روشمند را منحرف کند خطا و نابجا تلقی می‌شود، از جمله احساسات. اما با عاشق شدن به علاوه دیدن این گزاره‌های تصمیم ناپذیر، آن عقلانیت روشمند و الگوریتمی برایم فرو ریخت، حالا با دیدن قضیه گودل خیلی دقیق‌تر می‌دانم که چرا این طور عقلانیت چیزی ناکافی و به شدت ناکارامد است (گرچه غلط نیست) به همین خاطر هم از خواندن این قضیه گودل خوشحالم، علی رغم این که واقعا برایم سخت و نفس‌گیر بود.

پ.ن باقی‌مانده: حالا فقط منطق مرتبه دو مانده که درست بخوانم و بعد از بیش از یک سال پرونده منطق ریاضی خواندنم را ببندم تا به باقی زندگی‌ام برسم، کتاب راحت تر بخوانم و خوشحال‌تر باشم! امیدوارم این تخمین که «منطق مرتبه دو سریع تمام می‌شود» مثل تخمین «تصمیم‌ناپذیری سریع تمام می‌شود» نباشد.