پی‌آمد

دیشب کتاب منطق ریاضی (ورژن هربرت اندرتون‌اَش!) را برداشتم، حتی مقدمه‌اش هم هیجان‌زده‌ام کرد، در واقع عمده هیجان زدگی‌ام بابت پیوند آن چیزهایی بود که اخیرا از ویتگنشتاین و فایرابند آموخته‌ام با آنچه مقابلم می‌بینم. منطق در دنیای ما زیادی جدی گرفته شده!

اولین باری که به یک المپیاد کامپیوتری گفتم منطق (به معنی همین منطقِ جمع نقیضین محال است) آنقدرها هم که فکر می‌کنی چیز مهم یا محکمی نیست، خودم هم درست نمی‌توانستم بدانم چرا، یک چیزهایی می‌توانستم سر هم کنم اما الان خیلی دقیق‌تر می‌توانم بحث کنم (آن موقع بنده خدا با تعجبی فراوان، طوری که انگار من شبیه دیوانه‌ها باشم به من نگاه کرد و من فقط با جمله‌ای به مضمون «ولش کن الان باید کلی توضیح بدم و حوصله ندارم» گذشتم، به هر حال برای یک المپیاد کامپیوتری که «منطق» قلب دانشش است این جمله زیادی سنگین است، چیزی شبیهِ این که تو کلا چرت میگی، بنیانِ ایده‌اش را خراب می‌کند)

مقدمه کتاب، استدلالی مبتذل را به عنوان نمونه‌ای از استدلال قیاسی معتبر ارائه می‌کند:

هر انسانی فانی است

ارسطو انسان است

پس ارسطو فانی است

دو جمله اول مقدمه و جمله سوم نتیجه این مقدمه است، صرف نظر از این که ارسطو کیست، انسان یعنی چه فانی بودن چیست، «شکل» یا «فرم» این استدلال درست است، اما واقعا درستی این استدلال یعنی چه؟ یا سوالی دیگر، عینی بودن یا بدیهی بودن درستی این استدلال چطور فرض شده؟ آیا چیزی در دنیای ما و آن بیرون هست که ما را ملزم می‌کند این استدلال درست باشد؟ نه! به هیچ وجه، درستی این استدلال در بازی زبانی که ما در آن قرار داریم به واسطه آموزش و تکرار فراوان تضمین شده نه در دنیای بیرون و به صورت عینی! به عبارتی ما قرارداد کردیم که این استدلال درست باشد، عمده زبان‌های بشری (مخصوصا زبان‌های فارسی، یونانی، هندی و انگلیسی) ریشه‌ای مشترک دارند پس اصلا بعید نیست که «منطق» مشترک با قراردادهای مشترکی هم داشته باشند و عجیب نیست که منطق این قدر برای ما بدیهی است، این منطقِ بیشترِ زبان‌های بشری است، مسئله این است که با فرض صادق بودن دو جمله اول جمله سوم نتیجه گریزناپذیر و «درست» آنهاست ربطی به دنیای بیرون ندارد، به بازی زبانی ما و قواعد آن مربوط است! در واقع ما قیاس را جوری تعریف می‌کنیم که این استدلال درست باشد، درستی اینجا کاملا دوری و قراردادی است، اما چطور؟ از آن جایی که این قواعد عمیقا در زبانِ ما تنیده شده آشکارسازی آن با همین زبان دردسر آفرین است، با این حال سعی می‌کنم یک چیزهایی سر هم کنم. «هر انسانی فانی است» یعنی چه؟ یعنی چیزهای مختلفی وجود دارد («وجود» و «چیزها» و «مختلف بودن» یعنی چه؟) که ذیل مقوله «انسان» قرار می‌گیرند، در واقع این نوع نگاه ما به دنیا است و در این نگاه با جمله دوم فانی بودن را به چیزهای مختلفی که «انسان» هم تلقی و تعریفشان می‌کنیم نسبت می‌دهیم و در این مدل چیزهای یکسان باید ویژگی‌های یکسانی داشته باشند که نتیجه این قاعده جمله سوم است! بنا بر این صدق و کذب یا «درستی» این استدلال وابسته به مدل است نه به دنیای بیرون، در واقع «صدق پیشینی» این استدلال ربطی به دنیای بیرون ندارد به مدلی که ما سوارِ دنیا کرده‌ایم ربط دارد، «درستی» این استدلال طبق تعریف است، وابسته به مدلِ منطق است و منطق یعنی چیزی که این استدلال درونش درست باشد یا درستی یعنی این که این استدلال درست باشد، به عبارتی «درست» تعریف می‌شود!

بلافاصله راجع به صدق ریاضی سوال برایم پیش آمد، صدق ریاضی چیست؟ از قضا فصلِ اول کتاب راجع به نظریه مجموعه‌هاست، من قبلا آن را خوانده‌ام اما برایم جالب است که نظریه مجموعه‌ها را با این نگاه ببینم. صدق هم در ریاضی در واقع نه به خاطر چیزی آن بیرون بلکه به خاطر مدلی است که ما می‌سازیم. فرض کنید می‌خواهید به کسی استراتژی جنگ بیاموزید و مدلِ شما بازی شطرنج است. شما اشیایی در بازی قرار می‌دهید که اسمش را مهره می‌گذارید و زمین بازی و قواعدی شرح می‌دهید که فکر می‌کنید شبیه «واقعیت» است. شاهِ شطرنج مدلی از اردوی شاه در جنگ است، سربازان خطِ مقدم جنگ را شبیه سازی می‌کنند و بقیه مهره‌ها واحدهای جنگی پیشرفته‌تر. به همین معنی در ریاضی شما اشیایی در نظر می‌گیرید و قواعدی برای بازی با آن اشیا را تعیین می‌کنید، صدق و کذبِ گزاره‌های ریاضی به خاطرِ این که چیزی بیرون بازی هستند نیست، بلکه به خاطر قواعدی که شما روی آنها می‌گذارید معنی دارد، و قواعد منطق هم جزو قواعد بازی هستند(چه این که با منطقی متفاوت می‌توان ریاضی متفاوتی داشت)

اما نشانه‌هایی هست که انگار این بازی چیزِ بی‌ربطی به طبیعت نیست، چرا که با تمام آلودگی زبان ریاضی به ذهن و زبان و شناختِ ما، بسیاری اوقات قضایای مربوط به همی از شاخه‌های بی‌ربطی در ریاضی سر و کله‌شان پیدا می‌شود که به نظر می‌رسد این بازی‌های متفاوتِ ظاهرا بی‌ربط آنچنان هم بی‌ربط نیستند. در واقع نکته اینجاست که من هنوز به صدق افلاطونی اعداد معتقد نیستم اما آنها را بی‌ربط به دنیا نمی‌دانم.

پ.ن1:دیشب که کتاب را برداشتم و مقدمه‌اش را دیدم کلی ایده به ذهنم سرازیر شد راجع به ریاضی و منطق، بعضی‌هایشان را نوشتم، اگر این نوشته‌ها حین خواندنِ کتاب ادامه پیدا کنند همه‌شان را با عنوان «یادداشت‌های در باب منطق ریاضی» یا چیزی در این مایه‌ها ادامه می‌دهم.

پ.ن2: بدبخت شدم! وسطِ این همه کار موضوع به این جذابی را دست گذاشتم.