پی‌آمد

و بالاخره بعد از چهار ماه جان کندن لابه لای کارهای دانشگاه و پروژه برقی‌ام این فصل را خواندم، هوراااااااا، علی رغم این که فکر می‌کردم به خاطر پدری که در بخش منطق مرتبه اول از من در آمد، این قسمت سرازیری است و سریع می‌خوانم اما کلا یک فضای دیگر بود، در واقع اصلا ربطی به منطق مرتبه اول ندارد و پدرم هم در اینجا در آمد! این قسمت را متاسفانه فقط کتاب اندرتون داشت و همین کار را برایم بیشتر مشکل می‌کرد.

تصمیم پذیری چیست؟ تعریف تصمیم پذیری تا اینجا یک تعریف شهودی بود: روشی کارآمد وجود دارد که در متناهی گام تعیین کند s عضو S  است یا خیر. به همین جهت می‌شُد نشان داد که بعضی چیزها تصمیم پذیر هستند: مثلا می‌شود نشان داد نظریه اعداد همراه با تالی تصمیم پذیر است (به این معنی که می‌توان نشان داد هر جمله یا عضو نظریه است یا نیست( تصمیم پذیری این نظریه به این خاطر است که این نظریه اصل پذیر متناهی است و تمام هم هست با توجه به این که نظریه حاصل از هر مدل یا ساختار اصولا تمام است، پس اگر نظریه‌ای که از مجموعه اصول موضوعه به دست می‌آید هم تمام باشد به این معنی است که این نظریه با نظریه ساختارش یکی است، چون هر گزاره یا خودش در نظریه است یا نقیض‌اش بنا بر این دو نظریه تمام در یک زبان اگر سازگار باشند با هم یکی هستند. اما این نظریه تصمیم پذیر هم هست چرا که تمام جملات از استنتاج‌های متناهی از اصول موضوعه به دست می‌آیند بنابراین روش تصمیم‌گیری شمارش قضایای اصول موضوعه است که به خاطر تمام بودن نظریه بالاخره به آن می‌رسیم، نکته‌ای که باید به خاطر داشته باشیم این است که نظریه اصل‌پذیر و تمام حتما تصمیم‌پذیر است.

اما دردسری وجود دارد: با تعریف شهودی تصمیم پذیری ما حداکثر می‌توانیم نشان دهیم بعضی چیزها تصمیم پذیر هستند، اما نمی‌توانیم نشان دهیم بعضی چیزها (مخصوصا چیزهای صوری) تصمیم‌پذیر نیستند! (از کجا بدانیم روشی وجود ندارد؟) تعریف ما از تصمیم‌پذیری تا اینجا چیزی شبیه تعریف شهودی پیوستگی است: یک خم پیوسته است اگر بتوان بدون بلند کردن قلم تمام آن را رسم کرد. به جای این تعریف شهودی باید تعریفی از تصمیم پذیری ارائه داد که صوری باشد (مثل تعریف  اپسیلون و دلتا از پیوستگی تا بتوان با آن اثبات های بیشتری انجام داد و پیوستگی بسیاری از خمها را آزمود، تعریف صوری این خوبی را دارد که می‌توان مثلا نشان داد بعضی وضعیت‌ها به تناقض می‌رسند مثلا فرض پیوستگی تابع دیرکله غیر ممکن است، البته منظور از صوری بودن اینجا صوری بودن مرتبه اول نیست، صوری بودن اینجا مفهومی به مراتب شهودی تر از منطق مرتبه اول دارد که در آن عبارت‌های ریاضی  دنباله‌ای از نمادها هستند، با این همه آنقدر صوری هست که بتوان با آن اثبات ریاضی در زبان عادی ریاضی انجام داد، درست مثل تعریف اپسیلون و دلتا).

خُب، حالا جور دیگری می‌پرسیم: نظیر یا همزاد صوری تصمیم‌پذیری چیست؟ نمایش پذیری در یک نظریه سازگار و اصل‌پذیر متناهی! نمایش پذیری یعنی چه؟ قبل از آن بیاید اول راجع به تعریف پذیری حرف بزنیم. وقتی رابطه‌ای مثل R در یک ساخت تعریف پذیر است به این معنی‌ست که فرمولی وجود دارد که آن رابطه را تعریف کند، مثلا در نظریه اعداد دارای جمع، به راحتی می‌توان فرمولی نوشت که فقط یک متغیر آزاد دارد و فرمول فقط و فقط وقتی برقرار است که عدد زوج در آن جای‌گذاری شود به این ترتیب رابطه زوج بودن در نظریه اعداد شامل جمع قابل تعریف است (ولی در نظریه اعداد شامل فقط صفر و تالی قابل تعریف نیست، یعنی نمی‌توان فرمولی مرتبه اول نوشت که بتواند فقط برای اعداد زوج برقرار باشد) نمایش‌پذیری گرچه شبیه تعریف پذیری است اما با آن متفاوت است، نمایش پذیری یک رابطه R در یک نظریه مثل T  یعنی فرمولی وجود دارد که رابطه R را در ساخت معادل نظریه تعریف می‌کند (یعنی رابطه باید تعریف پذیر باشد) و این که به ازای هر جاگذاری فرمول، یا خود فرمول عضو T باشد یا نقیض آن. بنا بر این اگر نظریه T از مجموعه‌ای از اصول موضوعه به وجود آمده باشد، آنگاه نمایش‌پذیری یعنی این که از اصول موضوعه بتوان درستی یا نادرستی فرمول را به ازای هر ورودی استنتاج کرد اما در صورتی که نظریه T از یک ساختار به وجود آمده باشد آنگاه رابطه R در صورت تعریف‌پذیر بودن نمایش پذیر هم هست. و برای بار آخر: تصمیم پذیری یعنی نمایش‌پذیری در یک نظریه سازگار و اصل‌پذیر متناهی! تاکید می‌کنیم (و کتاب نیز هم) که این یک تعبیر صوری از مفهوم شهودی تصمیم‌پذیری است و هنوز باید تضمین کنیم هر رابطه تصمیم‌پذیر واقعا در یک نظریه اصل‌پذیر متناهی قابل نمایش است (و این تضمین قطعا به فرم اثبات نیست وگرنه اصلا نیازی به تعریف صوری نبود!)

و گودل ما تازه اینجا وارد ماجرا می‌شود: گودل با ایده‌ای هوشمندانه، بررسی عبارت‌ها را تبدیل می‌کند به محاسبه اعداد، بنا بر این شما می‌توانید تعریفی  از تصمیم پذیری داشته باشید که به زبان نظریه اعداد است، اما چطور؟ گودل به هر عبارتی در منطق مرتبه اول (در هر زبان شمارا) یک عدد طبیعی یکتا نسبت می‌دهد که به آن عدد گودل عبارت می‌گویند. بنا بر این دست کم برای زبان‌های شمارا می‌توان نشان داد جمله‌ها و عبارت‌ها به اعداد تبدیل می‌شوند و استنتاج‌ها به محاسبه تبدیل می‌شوند به همین خاطر می‌توانیم به جای بررسی جمله‌ها، اعداد را بررسی کنیم و به جای نظریه جمله‌ها نظریه اعداد را نگاه کنیم! نظریه اعداد خاصی که برای کار گودل لازم است فقط نیاز به اصول موضوعه اصلی حساب پئانو دارد ؛ جمع و ضرب و تالی تعریف شوند، همین! نام این نظریه را  TAE می‌گذاریم. بعد نشان می‌دهد که تمام اعمال منطقی و استنتاج‌ها دقیقا معادل محاسباتی نمایش‌پذیر در TAE هستند. بنا بر این به یک نتیجه شگفت آور می‌رسد:

هر رابطه‌ای که در یک نظریه اصل‌پذیر متناهی نمایش‌پذیر است، در TAE  نیز نمایش‌پذیر است!

ظاهرا قبلا ریاضی دان ها تعریف کرده بودند: رابطه‌ای که در یک نظریه با صفر و تالی نمایش‌پذیر باشد بازگشتی است بنا بر این محتوای این نتیجه این است که

 هر رابطه‌ی تصمیم‌پذیری بازگشتی است!

بنابراین بازگشتی بودن به معنی تصمیم‌پذیر بودن است. (بازگشتی اینجا به آن معنی بازگشتی که شهودا با آن آشناییم نیست، بلکه دقیقا یعنی همین نمایش پذیر بودن در زبانی با صفر و تالی است! ظاهرا این نامگذاری فقط دلایل تاریخی دارد) از این به بعد من به جای نمایش‌پذیر بودن در TAE ، از کلمه «بازگشتی» بودن استفاده می‌کنم. با این اوصاف ایده تعریف تصمیم‌پذیری با بازگشتی بودن آنچنان هم بد نیست، واقعا ما انتظار داریم هر فرایند تصمیم گیری قابل نمایش در یک نظریه اصل‌پذیر باشد، در واقع حتی بیشتر از این، تمام ماشین‌های محاسبه ایده‌آل مثل ماشین تورینگ تمام اعمالی را که انجام می‌دهند بازگشتی است و بنابراین قابل نمایش در TAE، پس خیلی هم ایده بدی نیست که بگوییم تصمیم‌پذیری یعنی بازگشتی بودن.

اما برویم سراغ تصمیم ناپذیری برای شروع بیاید یک لم ثابت کنیم، لم نقطه ثابت: برای هر فرمول دلخواه در نظریه اعداد مثل B(v)  (که v متغیر فرمول است) می‌توان جمله‌ای مثل s یافت که s برقرار است اگر و فقط اگر B(#s) برقرار باشد (#s یعنی عدد گودل جمله s) برای اثبات کافی است بدانیم تابعی وجود دارد که به ازای هر فرمول A(v) (که v متغیر آزاد فرمول است) مقدار #A(#A) را محاسبه می‌کند (واقعا در TAE محاسبه پذیر است، باور کنید!) اسم این تابع را f می‌گذارم که ورودی‌اش فرمول است (در واقع عدد گودل فرمول) و خروجی‌اش عدد گودل همان فرمول وقتی که عدد گودل خودش درون خودش جایگذاری شده یعنی اگر عدد گودل فرمول A(v)، r  باشد آنگاه A(r) یک جمله است و f(r)=#(A(r)). حالا فرمول جدید C(t)را در نظر بگیرید که فقط وقتی برقرار است که B(f(t)) برقرار باشد (این فرمول قطعا وجود دارد به زبان شهودی C(t)=B(f(t)) است). فرض کنید عدد گودل این فرمول q است یعنی q=#C(t) حالا اگر این عدد را درون خود فرمول C(t)جای‌گذاری کنیم چه می‌شود؟ طبق تعریفِ C، C(q) اگر و فقط اگر B(f(q)) و با توجه به این که f(q)=#C(q) آنگاه C(q) اگر و فقط اگر B(#C(q)) و این یعنی C(q) همان جمله s است! پس لم اثبات شد.

خُب حالا این لم به چه دردی می‌خورد؟ فرض کنید کسی ادعا کند نظریه اعداد (یعنی نظریه ساختاری با صفر و یک و تالی و جمع و ضرب) نمایش‌پذیر است  و این یعنی فرمولی وجود دارد مثل N(t) که عدد گودل یک جمله مثل G را می‌گیرد و برقرار است اگر G در نظریه اعداد برقرار باشد و برقرار نیست اگرG  در نظریه اعداد برقرار نباشد، فرض کنید B معادل نقیض N باشد یعنی B(t) برقرار است اگر و فقط اگر ورودی‌اش عدد گودل جمله‌ای نادرست از نظریه اعداد باشد. حال با استفاده از لم بالا برای B می‌دانیم جمله‌ای مثل s در نظریه اعداد وجود دارد که B(#s) برقرار است اگر  فقط اگر s برقرار باشد. حالا اگر s جمله‌ای باشد که در نظریه اعداد برقرار است به این معنی است که B(#s) باید برقرار باشد اما این تناقض است چون طبق تعریف B،  B(#s) برقرار است اگر و فقط اگر s جمله‌ای نادرست از نظریه اعداد باشد و برعکس، اگر s واقعا جمله‌ای نادرست از نظریه اعداد باشد آنگاه B(#s) طبق تعریف B باید برقرار باشد اما می‌دانیم B(#s)  برقرار است اگر و فقط اگر s برقرار باشد (یعنی جمله‌ای درست از نظریه اعداد باشد) با توجه به این تناقض چنین B وجود نداشته و چنین N هم وجود ندارد بنابراین نظریه اعداد نه تنها بازگشتی نیست بلکه حتی عدد گودل جمله های درست اساسا تعریف پذیر نیست.

اما هنوز به خود قضیه گودل یک قدم مانده‌ایم: اگر TAE تمام باشد آنگاه باید راجع به هر گزاره تصمیم گیری کند، اما می‌دانیم که این معادل تصمیم پذیر بودن نظریه اعداد است که ثابت کردیم نظریه اعداد حتی تعریف پذیر هم نیست چه برسد به تصمیم پذیر بودن (اگر یک نظریه اصل پذیر متناهی، تمام باشد آنگاه تصمیم پذیر است). قضیه حتی بدتر از این است،: نه تنها TAE تمام نیست بلکه حتی تصمیم پذیر هم نیست (یعنی نمی توان تعیین کرد که یک گزاره دلخواه قضیه TAE است یا خیر) و حتی بدتر، هیچ نظریه سازگار با TAE  هم تصمیم پذیر نیست! چگونه؟ به دو روش می‌توان این مطلب را ثابت کرد، یکی به اثبات خود گودل نزدیکتر است و دیگری به اثبات قبلی، آن اثبات نزدیک به گودل را بعدا در نظریه مجموعه‌ها می‌گویم اما الان اثبات نزدیک قبلی را استفاده می‌کنم. فرض کنید یک نظریه سازگار با TAE داریم، اجتماع این دو نظریه را T بنامید، این نظریه حتما غیر بازگشتی است مگر این که ناسازگار باشد، فرض کنید بازشگتی باشد یعنی مثل قبل N(v) برقرار باشد اگر و فقط اگر ورودی‌اش عدد گودل جمله‌ای عضو T باشد. در آن صورت B(v) را به عنوان نقیض N در نظر بگیرید بر اساس لم نقطه ثابت جمله‌ای مثل s  (در نظریه اعداد) وجود دارد که s برقرار است اگر و فقط اگر B(#s) برقرار باشد، حالا سوال اینجاست که آیا s عضو T است یا خیر، با توجه به این که می‌دانیم TAE جمله «s اگر و فقط اگر  B(#s)» را نتیجه می‌دهد (همان کار هوشمندانه گودل و لم نقطه ثابت) آنگاه T هم باید  «s اگر و فقط اگر  B(#s)» را نتیجه دهد (چون اجتماع TAE با نظریه‌ای جدید است) در نتیجه اگر s عضو T باشد آنگاه طبق تعریفِ B ، نباید B(#s) برقرار باشد اما طبق لم نقطه ثابت B(#s) برقرار است، برعکس اگر s عضو T  نباشد طبق تعریفِ B باید B(#s) برقرار باشد آنگاه طبق لم نقطه ثابت s هم عضو T است. بنا بر این چنین B یا N وجود ندارد و T و TAE غیر بازگشتی هستند (از همینجا نتیجه می‌شود که همانگوهای شامل پارامتر‌های نظریه اعداد اساسا غیر بازگشتی یا تصمیم ناپذیر است)

اما حالا کاربرد قضیه گودل چیست؟ این همه زور زدیم و حرف زدیم تا تازه فقط درون نظریه اعداد اثباتش کنیم اما قرار است چه کار کند؟ خُب قدم به قدم پیامدهایش را بررسی می‌کنیم:

اول، نظریه مجموعه‌ها را در نظر بگیرید، نظریه مجموعه‌ها نظریه‌ای است که از اصول تسرملو فرانکل و استنتاج‌های روی آن ساخته می‌شود. اصول حساب پئانو را می‌شود درون نظریه مجموعه‌ها بیان کرد، به طور دقیق‌تر می‌توان تعبیری از TAE  به درون قسمتی از نظریه مجموعه‌ها داشت. اما ما می‌دانیم که TAE بازگشتی نیست، بنابر این آن قسمت نظریه مجموعه‌ها ( و در نتیجه کل نظریه مجموعه‌ها) بازگشتی نیست. این غیربازگشتی بودن شامل هر دستگاه اصول موضوعه‌ای می‌شود که بتواند اصول حساب پئانو را در آن بیان کرد. این قضیه به طور کلی برنامه هیلبرت را نابود کرد! هیلبرت به عنوان یک صورتگرا ادعا داشت که ریاضیات چیزی جز دنباله‌ای از نمادها و قواعد استنتاج نیست بنابر این دنبال اصول موضوعه مناسب و کافی بود تا بتواند کل ریاضیات را بر آن سوار کند، گودل نشان داد که اگر ریاضیات را این‌گونه ببینیم همواره با معضل گزاره‌های اثبات‌ناپذیر (یا تصمیم‌ناپذیر) رو به رو خواهیم بود (چون هر چنین بیانی از ریاضی باید دست کم نظریه اعداد را هم بیان کند).

دوم، باز برگردیم به نظریه مجموعه‌ها، اثباتی شبیه به اثبات گودل برای ناتمام بودن نظریه مجموعه‌ها هست که نتیجه بدتری دارد، و آن این که اثبات سازگاری نظریه مجموعه‌ها درون خودش غیرممکن است. فرض کنید رابطه‌ای دوتایی مثل D داریم به این معنی که D(a,c) برقرار است اگر و فقط اگر a عدد گودل فرمول A(v) باشد و c عدد گودل استنتاجی برای  A(a) باشد. (بله، استنتاج‌ها هم خودشان عدد گودل دارند که از عدد گودل عبارت متفاوت است) تصور این که رابطه D بازگشتی است سخت نیست. بنابراین فرمولی مثل d وجود دارد که d(a,c) برقرار است اگر و فقط اگر c عدد گودل استنتاجی برای A(a) باشد (a عدد گودل فرمول A(v) است) حال این فرمول را در نظر بگیرید:

«به ازای هر c داریم که d(a,c) برقرار نیست»

نام این فرمول را B(a) بگذارید، مهم نیست که درستی این فرمول را چطور می‌توان تحقیق کرد مهم اینجاست که این فرمول قابل تعریف است و ورودی آن عدد گودل یک فرمول دیگر است، حالا فرض کنید عدد گودل این فرمول b باشد، آنگاه سوال اینجاست که جمله B(b) قابل اثبات است؟ یا نقیض‌اش؟ اگر نقیض B(b) را بتوان اثبات کرد ، آنگاه طبق تعریف B ، ما نقیض این جمله را اثبات کرده‌ایم که «به ازای هر c داریم که d(a,c) برقرار نیست» ولی نقیض این جمله با توجه به تعریف d یعنی برای B(b) اثباتی وجود دارد :)) اما اگر بتوانیم B(b) را استنتاج کنیم آنگاه طبق تعریف B ما این جمله را اثبات کرده‌ایم که «به ازای هر c، d(b,c) برقرار نیست» ولی برقراری این جمله یعنی نمی‌توان B(b) را ثابت کرد! در کل به شرط سازگاری نظریه TAE (و هر نظریه‌ای که اجتماع آن با این نظریه سازگار باشد) نه می‌توان B(b) را ثابت کرد نه می‌توان نقیض B(b) را ثابت کرد و این همان قضیه گودل به فرم اصلی اثبات آن است که می‌گوید نظریه اعداد TAE و هر نظریه که اجتماع آن با TAE  سازگار باشد، ناتمام است و گزاره‌ای هست که نه نقیض‌اش ثابت می‌شود و نه خودش! حالا بیاید با این قصه‌ها B(b) را درون نظریه مجموعه‌ها تعبیر کنیم، با توجه به ساختار B(b) و نحوه ساختن آن، تعبیر B(b) در نظریه مجموعه‌ها معادل این جمله شهودی است که: «من در نظریه مجموعه‌ها قابل رد و اثبات نیستم» دقت کنید که این جمله درون گیومه دقیقا همان تعبیر B(b)  در نظریه مجموعه‌ها است. اگر بتوانیم تعبیری صوری از سازگاری نظریه مجموعه‌ها داشته باشیم، آنگاه چیزی که ثابت کرده‌ایم این است که اگر نظریه مجموعه‌ها سازگار باشد آنگاه B(b) و دوباره به یاد بیاورید که B(b) یعنی من در نظریه مجموعه‌ها قابل رد و اثبات نیستم. حالا اگر بتوانیم سازگاری نظریه مجموعه‌ها را ثابت کنیم، با توجه به این که ما قبلا ثابت کردیم «اگر نظریه مجموعه‌ها سازگار باشد آنگاه B(b)» انگار که اثباتی برای B(b) عرضه کرده‌ایم اما B(b) یعنی این که من اثباتی ندارم! بنابر این اثبات سازگاری نظریه مجموعه‌ها درون نظریه مجموعه‌ها غیر ممکن است، و حتی بدتر، هر نظام اصول موضوعی که بتواند قضایای اصلی حساب را ثابت کند نمی‌تواند سازگاری خود را اثبات کند. و این شامل برنامه هیلبرت هم می‌شود!

این دو پیامد قضیه گودل، یعنی ناتمامی نظام‌هایی که دست کم به اندازه نظریه اعداد قوی هستند و عدم توانایی اثبات سازگاری آنها درون خودشان، نسبتا مستقیم و سرراست هستند. اما قصه دامنه‌دارتر از این حرف‌هاست. این نظام اصول موضوعی اصلا لازم نیست درون منطق مرتبه اول یا حتی درون ریاضی باشند، کافی است به قدر کافی قوی باشند که بتوان نظریه اعداد را درون آنها تعبیر کرد و قضایای اصلی را اثبات کرد، چنین چیزی به وضوح قابل برگرداندن به TAE است پس تصمیم‌ناپذیری و عدم اثبات سازگاری برای آن هم قابل تعمیم است. قصه حتی از این هم فراتر است، هر فرایند الگوریتم پذیری می‌تواند به درون TAE ترجمه شود (چرا که طبق فرض چرچ هر فرایند محاسبه الگوریتمی مثل ماشین تورینگ یک فرایند بازگشتی است یعنی قابل ترجمه به اعداد گودل و قابل بررسی در TAE است) بنا بر این هر فرایند الگوریتمی چه منطق مرتبه بالا باشد چه ماشین محاسبه، اگر بتواند قضایای اصلی حساب را به درون خودش ترجمه کند آنگاه دچار محدودیت خواهد بود. شاید بهتر باشد بعدا در پستی مفصل راجع به پیامدهای این قضیه صحبت کنم اما تا اینجا این جزئیات اثبات را گذاشتم تا خودم هم بعدا به آن رجوع کنم.

پ.ن چطو شد که ایطو شد: پارسال این موقع که کتاب منطق ریاضی را دست گرفتم تازه ویتگنشتاین و فایرابند را دوباره خوانده بودم و مشتاق بودم بدانم منطق چگونه نسبی است، علاوه بر آن کلا  موضوع فلسفه ریاضی و بنیان منطقی آن برایم جالب بود. تابستان امسال که بخش های اصلی منطق ریاضی را تمام کردم رسیدم به قضیه ناتمامیت گودل، قبلا خیلی راجع به آن شنیده بودم گفتم تا اینجا که آمده ام بگذار این قسمت را هم درست بخوانم تا ببینم درد این قضیه چیست، موضوع تصمیم ناپذیری از طرفی برای من موضوعی شخصی هم بود، خوب یادم می‌آید دژ ریاضی آن موقعی برایم کامل فرو ریخت که فهمیدم گزاره‌های تصمیم ناپذیر وجود دارند. قبل از آن من موجودی پوزیتیویست بودم که ادعا داشت هر چیزی را باید به طور دقیق تعریف کرد و تنها با این تعاریف دقیق می‌توان به نتیجه عقلانی رسید. عقلانیت هم از دیدگاه من چیزی الگوریتم‌وار بود که بعد از تعریف دقیق چیزها دیگر ابهامی در دیگر مسائل باقی نمی‌گذاشت و با کاربست یک عقلانیت کاملا روشمند (که تجلی اعلای آن ریاضی است) می‌توان جهان را «درست» فهمید. در این نگاه هر چه که عقلانیت روشمند را منحرف کند خطا و نابجا تلقی می‌شود، از جمله احساسات. اما با عاشق شدن به علاوه دیدن این گزاره‌های تصمیم ناپذیر، آن عقلانیت روشمند و الگوریتمی برایم فرو ریخت، حالا با دیدن قضیه گودل خیلی دقیق‌تر می‌دانم که چرا این طور عقلانیت چیزی ناکافی و به شدت ناکارامد است (گرچه غلط نیست) به همین خاطر هم از خواندن این قضیه گودل خوشحالم، علی رغم این که واقعا برایم سخت و نفس‌گیر بود.

پ.ن باقی‌مانده: حالا فقط منطق مرتبه دو مانده که درست بخوانم و بعد از بیش از یک سال پرونده منطق ریاضی خواندنم را ببندم تا به باقی زندگی‌ام برسم، کتاب راحت تر بخوانم و خوشحال‌تر باشم! امیدوارم این تخمین که «منطق مرتبه دو سریع تمام می‌شود» مثل تخمین «تصمیم‌ناپذیری سریع تمام می‌شود» نباشد.