پی‌آمد

دیشب تمامش کردم، بی‌نهایت زیبا، بی‌نهایت هیجان‌انگیز و بی‌نهایت بصیرت‌بخش بود. کتاب راجع به قضیه گودل، پیش‌زمینه‌ها و واکنش‌های آدمها به این قضیه بود. طرح کلی اثبات قضیه گودل را هم نوشته بود و تا جایی که با اصل اثبات آن در کتاب منطق ریاضی اندرتون مقایسه می‌کنم، به محتوای اصلی قضیه وفادار بود. برای منی که همین چند هفته پیش اثبات قضیه گودل را به صورتی کاملا فنی خوانده بودم، خواندن حواشی این اثبات، انگیزه‌های خود گودل و فضای فکری آن زمان بی‌اندازه جذاب بودند. این هیجان آنقدری بود که بعد از جز و کل هایزنبرگ یکی از معدود کتابهایی بود که از تمام شدنش دلگیر شدم. گرچه گاهی اوقات ترجمه‌اش نامفهوم می‌شد اما روی هم رفته بسیار جذاب بود.

البته نمی‌توانم انکار کنم بخش قابل توجهی از جذابیت این کتاب بابت شرح تقابل دیدگاه ریاضی ویتگنشتاین با گودل بود، این دو غول اندیشه، این دو نابغه و این هر دو ارجمند برای من، اما یکی متعهد به صورت گرایی و بازی‌بودگی ریاضی و دیگری افلاطون‌گرایی تمام عیار معتقد به عینیت ریاضی! در واقع این درگیری تا حدودی برای من موضوعی شخصی محسوب می‌شود، موضوع صدق ریاضی همیشه برای من (و ملت) عجیب  و جذاب است و مناقشات بین این دو غول به نظر می‌رسد که راهی برای من باز می‌کند برای معنای عقلانیت که نهایتا دنبال آن هستم.

صدق ریاضی یعنی چه؟ از گذشته‌های دور صدق قضایای ریاضی عجیب بود، آنها همیشگی و ازلی به نظر می‌رسیدند و به نظر ربطی به مکان و زمان و تجربه نداشتند، اما چطور با استنتاج، به چیزی که همیشه و همه جا درست است می‌رسیم؟ می‌توان صدق قضایای ریاضی را به صدق اصل‌های ریاضی تحویل کرد که خود آن اصل‌ها هم بدیهی هستند، به همین خاطر استنتاج از اصولِ «شهوداً» بدیهی قضایایی به دست می‌دهد که باید برقرار باشند. اما صدق این قضایا واقعا یعنی چه؟ صدق «اکنون اینترنت قطع است» را به راحتی می‌فهمیم، «اینترنت» و «قطعی» و «اکنون» در دنیای بیرون مابه ازا دارند و صادق و کاذب بودن آن معلوم است (که متاسفانه الان صادق است :)) ) اما آیا مثلا 1+2=3 واقعا در جهان برقرار است؟ برای برقراری واقعی 1+2=3 باید 1 و 2 و 3 و + (و =) در دنیای بیرون ما به ازا داشته باشند، افلاطون پیشنهادی می‌دهد: بله واقعا دارند! قضایا و اصل‌های ریاضی در جهانی شبیه مُثُل افلاطونی واقعا به طور لامکان و لازمان و جاودان وجود دارند و ما با عقل محدود و این جهانی خودمان به این قضایای همیشه درست (لااقل بخشی از آن) دسترسی داریم (مطمئن نیستم ولی ظاهرا بخشی از استدلال افلاطون برای اثبات این که ما پس از مرگ هم زنده هستیم همین است که ما با این موضوعات جاودان ارتباط داریم بنابر این وجود ما یک قسمت جاودانی هم دارد) اغلب حتی صدق این قضایا مستقل از هر تجربه‌ای فرض می‌شود. این صدق مستقل از تجربه* بسیار وسوسه انگیز است و بر اساس ادعای کتاب، همین باعث شده ریاضی راهنمای خردگرایان تاریخ همچون دکارت و اسپینوزا و لایبنیتز باشد: با عقل و شروع از قضایای بدیهی و استنتاج، همیشه می‌توان به قضایایی کاملا درست رسید بدون این که وارد دنیای شلوغ و گول زننده و کثیف تجربه شد (مضاف بر این، برتری استنتاج، ضرورت قطعی آن است در حالی که تجربه از استقرا کمک می‌گیرد که نتیجه آن هرگز اطمینان بخش نیست)، پس ما باید این الگوی ریاضی را در مورد فلسفه و فیزیک هم به کار بگیریم تا جهان را بفهمیم، بدون ارجاع زیادی به تجربه. مجموع این دیدگاه ها با افلاطون گرایی در ریاضی همپوشانی دارد: ریاضیات واقعیتی مستقل از ماست که ما آنها را شهود می‌کنیم و همیشه صادق است. (گودل و پنروز صریحا از چشم سوم ریاضی دانان صحبت می‌کنند، بسیاری را دیده‌ام که در پاسخ این پرسش که:« چطور چنین اثبات شبیه جادوگری برای قضیه فلان پیدا شده؟» پاسخ می‌دهند که آن ریاضی دان قضیه را شهود کرده و در نهایت شهود خودش را صوری کرده و اثبات را نوشته، حتی خود گودل هم قضیه ناتمامیت خود را در دفاع از دیدگاه افلاطونی‌اش منتشر کرده: ریاضیات را نمی‌توان به رشته نماد تقلیل داد، شهود تا ابد نقش مهمی در ریاضی دارد و این شهود است که تعیین کننده است، اما شهود باید معطوف به چیزی باشد، آن چیز اشیای جهان افلاطونی است)!

از دیگر سو تجربه‌گراها که روی هم رفته تمام معرفت بشر را حاصل از تجربه می‌دانستند، با صدق جاودانی و «پیشینی» قضایای ریاضی در تکاپو بودند، راه حل نهایی نه ارجاع قضایای ریاضی به جهان افلاطونی (که راز آمیز جلوه می‌کرد) بلکه تقلیل ریاضی به صورت‌هایی بی‌معنی و بدون ما به ازای خارجی بود: صرفا قواعد بازی با نمادهای صوری؛ ریاضیات صادق است چون بر طبق قواعد ریاضی است، صدق و کذب را قواعد ریاضی مشخص می‌کند و این صدق و کذب ربطی به دنیای بیرون ندارد. ویتنگشنتاین (هم متقدم و هم متاخر، شاید جزو معدود جاهایی که ویتگنشتاین متقدم و متاخر با هم موافق‌اند) نهایتا یکی از پخته‌ترین دیدگاه‌ها را به نفع صورتگرایی انجام می‌دهد، ویتگنشتاین تا حد زیادی با ایده بازی‌های زبانی، مشکل صدق ریاضی را حل (که چه عرض کنم نابود) می‌کند، به نظر ویتگنشتاین (تا جایی که من می‌فهمم) صدق ریاضی صرفا به خاطر تعهد به قواعد است و آن بیرون هیچ ریاضیاتی در کار نیست و هیچ صدقی هم در کار نیست، شاید بتوان با در نظر گرفتن وجود مدل‌های ناسازگاری مثل هندسه اقلیدسی و نااقلیدسی این ایده ویتگنشتاین را جدی‌تر گرفت (در نگاه افلاطونی، بالاخره هندسه اقلیدسی صادق است یا نا اقلیدسی؟) ریاضیات همانقدر صادق است که بازی شطرنج، بازی شطرنج شاید مدل خوبی از سیاست باشد اما اساسا سوال از صدق آن مسخره است، ریاضیات شاید دنیای ما را به خوبی مدل کند (البته ظاهرا خود ویتگنشتاین هیچ نیازی به این نمی‌بیند که بگوید ریاضی جهان ما را واقعا خوب مدل می‌کند) اما پرسش از صدق آن بی‌معنی است، صدق جاودان آن فقط به خاطر قواعد است، وگرنه جهان افلاطونی واقعا باید چطور باشد که 1+2=3 نباشد؟

تمام این مناقشات و مباحثات برای من حیاتی است، چون در نظر من ریاضیات همان کاری را می‌کند که فیزیک انجام می‌دهد، اما در سطحی نسبتا انتزاعی‌تر، از نظر من مرز قابل تشخیص و تیزی بین ریاضی و فیزیک وجود ندارد، برای همین از نظر من «شهود ریاضی» هم تفاوت آنچنانی با «شهود فیزیکی» که کاملا حاصل از عادت به تجربه است، ندارد. بنا بر این اگر ریاضی را به مثابه بازی زبانی یا قواعد بی‌معنی بفهمیم، باید فیزیک را هم این‌گونه بفهمیم، اگر به فیزیک ارزش معرفت‌شناسانه «عینی» بدهیم، به ریاضی هم باید بدهیم، این دو اساسا یک چیز هستند بنابر این فلسفه ریاضی از اساس برای من برادر فلسفه علم محسوب می‌شود و مهم است. به نظرم همین ایده راه را برای آشتی دادن ایده بازی‌های زبانی و جهان عینی باز می‌کند و شاید بتواند من را از این گرداب «قواعد انتخاب پارادایم» بیرون ببرد: بالاخره چه دیدگاهی عقلانی است؟

*صدق مستقل از تجربه و پیشینی ریاضی به نظر من حرف دقیقی نیست، چه راسل تجربه‌گرا سعی کند با نشان‌ دادن این که «ریاضی همان منطق است» آن را نشان بدهد و چه گودل سعی کند با نشان دادن قضیه‌اش به ما بقبولاند که ریاضی امری است آن‌جهانی که ما با چشم سوم شهود می‌کنیم، به نظر من ریاضی از ابتدا در برخورد با طبیعت شکل گرفته و ابدا ماهیت پیشینی ندارد، ریاضی قواعدی است که ما عادت داریم با آن دنیا را ببینیم و این قواعد چنان در زبان و توری معرفت ما تنیده شده‌اند که به سختی می‌توان غیر از آن را تصور کرد. این ادامه همان ایده من است که شهود ریاضی در اصل همان شهود فیزیکی است، برای داشتن شهود لازم نیست حتما تمام حقیقت را بدانیم، فیزیک ارسطویی هم پر از شهود بود و فیزیک‌دانان ارسطویی واقعا راجع به طبیعت شهود داشتند، گرچه امروز آن شهود پذیرفته نیست اما به هر حال شهود بود. به همین معنی ما ریاضی را هم شهود می‌کنیم و من نیازی نمی‌بینم برای وجود این شهود به جهان افلاطونی متوسل بشوم. این شهود ریاضی اساسا سطحی بالاتر و انتزاعی‌تر از همان شهود روزمره فیزیکی است و معطوف به همین جهان است.

پ.ن، عقل‌گرایی و افلاطون‌گرایی: به نظرم تناقضی در ارتباط دادن عقل‌گرایی با افلاطون‌گرایی هست، افلاطون‌گرایی اتفاقا سعی می‌کند صدق ریاضی را به تجربه ربط دهد: تجربه کردن جهان مُثُل افلاطونی، اما عقل گرایی سعی می‌کند از توسل به هر گونه شهود ضعیفی بپرهیزد و از مسائل «برای همه بدیهی» شروع کند و استنتاج کند تا هرگز مشکلی پیش نیاید، عقل‌گرایی از این جهت کاملا روح مشابهی با صورت‌گرایی هیلبرت یا اثبات‌گرایی منطقی حلقه وین دارد، گرچه همیشه عقل‌گرایی دیدگاهی در مقابل تجربه‌گرایی تصویر می‌شود اما تجربه‌گرایی منطقی اروپای قرن بیستم به نظرم ترکیب عقل‌گرایی دکارتی و اسپینوزایی با تجربه‌گرایی هیوم و لاک است، روش‌ها همچنان روش‌های استنتاج عقل‌گرایان است و فقط صدق پیشینی و عینی برخی قوانین به نفع تجربه گرایی کنار گذاشته می‌شود، شاید این همان ترکیبی است که کانت ایجاد می‌کند و نکته طنزی است که ادامه کانت از یک سو به ایده‌آلیست‌های مغلقی چون هگل می‌رسد و از سوی دیگر به سنت اثبات‌گرایی صریحی چون راسل که دشمن خونی هگل است! نمی‌دانم ولی راجع به ارتباطشان مطمئن نیستم.

پ.ن کتاب: اول می‌خواستم کتاب «فلسفه تحلیلی چیست» را شروع کنم که به نظر انتخابی منطقی بعد از «کواین» بود اما ارائه قضیه گودل به بچه‌های اتاق از یک طرف و موضوعات فوق‌العاده هیجان‌انگیز کتاب ناتمامیت از سوی دیگر باعث شد که فعلا مغزم به وادی فلسفه ریاضی قفلی بزند، کتاب‌هایی که الان در دستور کارم هستند «فلسفه  ریاضی» استیفن بارکر به علاوه «جامعه شناسی اثبات ریاضی» «فلسفه براوئر» و شاید «از ارسطو تا گودل» است. فلسفه تحلیلی چیست بماند برای بعد از این‌ها.

پ.ن1: کتاب چنان جذبم کرد که لحظه‌ای دلم نمی‌خواست آن را زمین بگذارم و این تا حد زیادی این روزهای بی‌اینترنت را برایم دلپذیر کرد، چه چیزی بهتر از این که مزاحمی نباشد تا این موضوع جذاب را بخوانم.

پ.ن2: واقعا خدا را شکر که حداقل این وبلاگ لود می‌شود (البته فقط با اینترنت دیتا!!! :|||| )

پ.ن3: چه آبان پر پُستی داشتم :))  هر چند ظاهرا فقط دارم برای خودم می‌نویسم.

پ.ن4: معنای عقلانیت هر چه باشد مطمئنم گفت و گو بخش مهمی از آن است نه قطع راه گفت و گو!