پی‌آمد

تا به حال برهان خُلف توی ذوق شما زده است؟ شاید زده باشد  شاید هم نه اما برای من بعضی اوقات واقعا برهان روی اعصابی است: از تناقضی برای فرض نقیض حکم، حکم را نتیجه می‌گیرید! همین کافی بود تا با شنیدن این که در ریاضیات شهودگرا برهان خلف مورد پذیرش نیست، در مورد ریاضیات شهودگرا کنج‌کاو بشوم. چیزی که قبلا شنیده بودم این بود که ریاضیات شهودگرا با تاکید بر برهان‌های ساختی (به جای برهان‌های غیر ساختی مثل برهان خلف) یا تاکید بر اصول ساختی (به جای اصول غیر ساختی مثل اصل انتخاب یا اصل کمال اعداد حقیقی) سعی در بنای ریاضیاتی نو دارد. از این گذشته توصیف شهودگرایی از پیوستار تا حد زیادی از توصیف کلاسیک که پیوستار را مجموعه‌ای از نقاط مجزا می‌بیند متفاوت است و تمام این‌ها شاید برای من هیجان انگیز و ترغیب کننده بود که ریاضیات شهودگرایی را ببینم (من قبلا با پیوستار هم مشکل داشتم، هنوز هم دارم، تابع دلتای دیراک این وسط از همه بیشتر روی اعصاب است). همه این‌ها انگیزه شد تا کتاب «فلسفه براوئر» را به عنوان شروعی از شهودگرایی بخوانم (براوئر مبدع و آغازگر شهودگرایی بود).

نتیجه خواندن کتاب اما واقعا زده شدن بود از شهودگرایی!! ظاهرا انگیزه تاکید بر ساختی بودن در ریاضیاتِ شهودگرایی حصول اطمینان از عدم تناقض نیست (چنان که در اوایل قرن بیستم دغدغه ریاضی‌دانان بود) بلکه (دست کم به ادعای براوئر) انگیزه‌های کاملا فلسفی در کار است. تا جایی که من فهمیدم براوئر تکیه فراوانی بر ایده‌آلیسم آلمانی دارد به خصوص نوعی که آن زمان رایج‌تر بود: پدیدارشناسی هورسلی (گرچه شاید خود براوئر به قسمت‌های فراوانی از پدیدارشناسی بدون کمک هورسل رسیده بود). گاهی همین انگیزه‌های فلسفی نوعی تبلیغ برای شهودگرایی محسوب می‌شود، این جمله فراوان تکرار می‌شود که «شهودگرایی فلسفی‌ترین مکتب ریاضی است» اما به نظر من نقطه ضعف شهودگرایی دقیقا همین است! ظاهرا براوئر هیچ تلاشی برای توجیه ریاضیات پیش از خود ندارد بلکه مراد خودش از «ریاضی» آن چیزی است که خودش توصیف می‌کند * و این دقیقا همان جایی است که مشکل من با براوئر آغاز می‌شود.

از نظر منِ فیزیکی، ریاضیات در واقع همان کار فیزیک‌دانان است اما در سطحی انتزاعی‌تر، من نمی‌خواهم ریاضی را به فیزیک و یا فیزیک را به ریاضی فرو بکاهم یا بگوییم یکی مهمتر از دیگری است (این بازی کل کل بماند برای جوان‌تر‌ها)، صرفا می‌خواهم به این نکته اشاره کنم که اگر فیزیک را شناخت جهان بدانیم، ریاضی هم شناخت جهان اما به شکلی انتزاعی‌تر است، اگر ریاضی را بازی زبانی غیر واقعی بدانیم، فیزیک هم یک بازی زبانی غیرواقعی است اما با جنبه کاربردی تر، به نظر من هیچ تفاوت قاطع و خط مشخصی بین ریاضی و فیزیک وجود ندارد و اساسا هر دو دارند یک کار را می‌کنند ( چه این کار شناخت جهان باشد یا بازی زبانی فرقی ندارد!) اما در سطوح متفاوتی از انتزاع (این ایده‌ها را تا حدی مدیون کواین هستم). و کاری که این «فلسفی‌ترین مکتب ریاضیات» می‌کند، کشاندن ریاضی به داخل ذهن و قطع کامل ارتباط بین ریاضی و فیزیک است (مگر این که فیزیک را هم به داخل ذهن بکشیم یا مکتب فیزیک شهودگرایی درست کنیم).

این عدم تمایز قاطع بین ریاضی و فیزیک من را به سمت انتقاد دیگری از شهودگرایی می‌کشاند. من احساس همدلی فراوانی با فایرابند دارم و نهایتا پذیرفته‌ام که فعالیت علمی (به طور خاص فیزیک) نباید محدود به هیچ قیدی باشد، جامعه علمی تعیین می‌کند که کدام روش و کجا مطلوب است و کدام روش مطلوب نیست چه این روش اثبات یک تئوری فیزیکی باشد چه روش مربوط به اندازه گیری مقاومت ماده، هیچ قانون و قید جهانی و همیشگی وجود ندارد  و از همین رو قوانین کلی مثل «فیزیک‌دان باید ابطالگرا باشد» یا «فیزیک باید به روش پوزیتویسم عمل کند»** را نمی‌پذیرم و صرفا نسخه پردازی‌هایی آرمان‌گرایانه می‌دانم که در عمل نه تنها به درد نخور هستند که حتی دست و پا گیراند . نهایتا اگر تمایز قاطعی بین فیزیک و ریاضی قائل نباشم باید بپذیرم که ریاضیات هم باید از چنین قیود محکمی آزاد باشد اما براوئر دقیقا بر سبیل فیلسوفان علم اوایل قرن بیستم برای ریاضی نسخه می‌پیچید: ریاضی باید چنین و چنان باشد! و من از طریق مخالفتم با ابطالگراها یا پوزیتویست‌ها (که به دنبال روشی برای علم بودند) ناچارم با براوئر هم مخالفت کنم و بگویم: «برای ریاضی نسخه نپیچ!» من هیچ قیدی را برای ریاضی قبول ندارم و هیچ قانون کلی را برای آن مجاز نمی‌دانم، هر روشی در هر جایی به دستتان رسید که به نظر مفید بود، مفید است! مگر این که ملت قبول نکنند.

ادعاهایی مثل «ریاضیات بی زبان است» هم مزید بر علت شده تا به کل شهودگرایی بدبین باشدم چون من اساسا ریاضیات را زبانی خاص می‌دانم. به نظرم این ادعا تمام تاریخ ریاضیات را نادیده می‌گیرید. با این همه باید اعتراف کنم این مبادی فلسفی را درست نفهمیدم. نه این کتاب آن قدر واضح توضیح داده بود (کلا با کتاب ارتباط برقرار نکردم) و نه هر بار که تلاش کردم راجع به هورسل و پدیدارشناسی بخوانم، چیز دندانگیری نصیبم شده بود. شاید از همین ندانستن است که با شهودگرایی هم ارتباط برقرار نکردم.

با تمام این انتقادهایم هنوز ایده برهان ساختی برایم جذاب است نه به خاطر این که احساس می‌کنم ریاضی در هر حال باید چنین باشد، بلکه به این خاطر که احساس می‌کنم برخی از مشکلات فیزیک که الان با آن دست به گریبانیم ممکن است از رهگذر چنین روشهایی حل و فصل شود و به همین خاطر هنوز نسبت به روش هاش شهودگرایی دید مثبتی دارم و امیدوارم متن آموزشی درست و حسابی از شهودگرایی به دستم برسد.

*همین باعث می‌شود قضایایی از ریاضیات کلاسیک را نپذیرد و در مقابل قضایای دیگری را اثبات کند که در ریاضیات کلاسیک برقرار نیست.

** اتفاقا هر دوی این نسخه‌ها مبادی فلسفی دارند، به این معنی اگر با تکیه بر چنین تزهایی «فیزیکیات ابطالگرا» را همچین چیزی بسازیم و بگوییم «این فلسفی‌ترین مکتب فیزیکی است»، نتایج مزخرفی به دست می‌آید. تمام قدرت فیزیک در این است که خودش را به چنین قیودی محدود نمی‌کند.

پ.ن: با اتمام این کتاب، گشت و گذارم در موضوع فلسفه ریاضی فعلا تقریبا تمام شد. حالا می‌توانم با خیال راحت «فلسفه تحلیلی چیست» را بخونم که چند هفته پیش شروع کرده بودم، امروز چند صفحه اش را ورق زدم و فوق‌العاده جذاب و هیجان‌انگیز بود.