چرا مکانیک کوانتمی عجیب است؟

 

تفکیک معروفی در فیزیک هست که ریاضی یک مسئله را از فیزیک آن جدا می‌کند، روش حل یک معادله دیفرانسیل یک فرایند ریاضی است در حالی که معنی این معادله دیفرانسیل و تشکیل دادن آن یک موضوع فیزیکی، ریشه عجیب بودن مکانیک کوانتمی هم تا حدی همین مسئله است، اما چطور؟

بیاید کمی دقیقتر به این تفاوت نگاه کنیم، مثال جالبی از کتاب «نظریه عجیب نور و ماده» فاینمن هست: ما همه در دبستان الگوریتمی یاد میگیریم تا مثلا 534 را در 23 ضرب کنیم و نتیجه را اعلام کنیم، ما واقعا نیازی نداریم تا بدانیم ضرب کردن یعنی چه تا کار با این الگوریتم را یاد بگیریم، این کار به حدی مکانیکی است که شما می توانید برنامه‌ای کامپوتری بنویسید تا دو رشته عدد ده دهی تحویل بگیرید و یک رشته ده دهی جدید تحویل دهد که نتیجه‌اش ضرب اعداد دو رشته اولی باشد و قاعدتا کامپیوتر نمی‌داند ضرب یعنی چه، اما ما اصطلاحا معناشناسی ضرب را بلد هستیم و می دانیم که مثلا 534 ضرب در 23 یعنی اگر به ازای یک ردیف 23 تایی از نخود، برای هر کدام از نخودهای این ردیف 533 نخود دیگر اضافه کنیم و همه را با هم جمع کنیم نتیجه می شود ضرب 23 در 534 یا نتیجه 23 بار جمع زدن 534 با خودش ضرب 23 در 534  است. این معناشناسی به ما کمک می‌کند تا الگوریتم محاسبه را تشکیل دهیم و این الگوریتم بدون این معنا شناسی و هستی شناسی* تقریبا به درد نمی‌خورد و هستی‌شناسی و معناشناسی هم بدون الگوریتم تقریبا بدون کاربرد است.

در تمام فیزیک تا قبل از مکانیک کوانتم، اتفاقی که می‌افتاد این بود که هستی‌شناسی خاصی وجود داشت و بر مبنای آن سر و کله الگوریتم‌های محاسبه پیدا میشد**. مثلا هستی‌شناسی نیوتون در باب فضا و اشیا (که اشیا را مجموعه ای از ذرات نقطه‌ای در فضا-زمانی از پیش موجود و تخت در نظر می‌گرفت) منجر به حساب دیفرانسیل و انتگرال و تمام الگوریتم‌های مشتق‌گیری و انتگرال گیری ‌شد، الگوریتم‌های محاسبه راه‌حل‌های آسان و کاربردی مسائلی پیچیده بودند که اگر مثلا یک ذره با سرعت متغیر حرکت کند جا به جایی آن چه قدر خواهد بود. یا مثلا هندسه دیفرانسیلی موجود در نسبیت عام و تمام قواعد و الگوریتم‌های محاسبه مثل محاسبه ژئودزی یا تانسور ریمان و .... همگی ناشی از هستی‌شناسی اینشتین در باره فضا-زمان بود و بدون آن نمی‌توان هیچ کدام از الگوریتمها را معناشناسی کرد و توضیح داد یا موجه کرد، هر چند یاد گرفتن تمام این الگوریتم‌ها هیچ نیازی به دانستن معناشناسی آنها و هستی‌شناسی متصل به آن‌ها ندارد. در واقع قسمت عمده دروس فیزیک دانشگاه معطوف است به یاد دادن همین الگوریتم‌های محاسبه در دروس مختلف از مکانیک آماری گرفته تا الکترومغناطیس، استاد خوب و دانشجوی خوب سعی می‌کنند از خلال این الگوریتم‌ها، هستی‌شناسی هر درس را فرا بگیرند و الگوریتم‌ها را معنا کنند و استاد بد و دانشجوی بد کسانی هستند که صرفا به یاد گرفتن این الگوریتم‌ها بدون هستی‌شناسی و معناشناسی آنها بسنده می‌کنند. حتی درسی مثل ریاضی-فیزیک در واقع تماما همین الگوریتم‌های محاسبه است.

مشکل کوانتم (به نظر من) از جایی آغاز می‌شود که هایزنبرگ و شرودینگر و دیگران الگوریتم‌های محاسبه‌ای کشف می‌کنند که طیف اتم هیدروژن یا نوسانگر هارمونیک یا حتی طیف اتم هلیوم را به خوبی و با دقت فراوان به دست می‌داد اما ناشی از هیچ هستی‌شناسی از پیش موجودی نبود و معناشناسی توافق شده‌ای نداشت! تمام تلاش‌هایی که ذیل موضوع «تفسیر مکانیک کوانتم» قرار می‌گیرد در واقع تلاشی برای سوار کردن یک هستی‌شناسی برای معادلات و روش‌های محاسباتی است که از دل ستارگان بسیار چگال تا محاسبه ممان مغناطیسی الکترون با دقتی باورنکردنی «جواب» می‌دهند، هر تفسیر مکانیک کوانتمی در واقع یک معناشناسی خاص برای این معادلات است اما هنوز با تفسیری همه‌پذیر یا توافق شده فاصله داریم. قاعدتا بسیار افراطی است اگر بگوییم که کوانتم هیچ معناشناسی یا هستی شناسی ندارد، معادلاتی که هیچ معناشناسی ندارند و متصل به هیچ هستی‌شناسی نیستند هیچ ارتباطی هم به طبیعت ندارند و اصلا پیش‌بینی طبیعت برای آن معنی ندارد، برای مثال ما می‌دانیم که اندازه تابع موج به معنی چگالی احتمال حضور است یا ویژه مقدارهای یک عملگر مشاهده پذیر در واقع مقادیر  قابل حصول برای آن مشاهده پذیر است اما این معناشناسی‌ها و هستی‌شناسی آنها بعد از کشف معادلات پیدا شدند  و واقعا نمی‌دانیم چرا باید از فضای هیلبرت استفاده کنیم یا چرا معادله شرودینگر برقرار است. موضوع در نظریه میدان کوانتمی از این هم بدتر می‌شود و پایبند بودن به هستی شناسی نظریه میدان کوانتمی مشکلات عجیبی را به وجود می‌آورد که خیلی از اوقات ترجیح می‌دهیم آن‌ها را صرفا همان قواعد محاسبه بدانیم.

فراموش کردن یا در نظر نگرفتن این مسئله برای فیزیک از جهتی مولد است: فعلا تلاش کنیم این روشها را استفاده کنیم که ببینیم تا کجا می‌توان در توصیف و پیش‌بینی طبیعت پیش رفت، نتایج این کار هم در فیزیک قرن گذشته مشهود است: بسیاری از مسائل یا پیشبینی‌ها با کمک این روش‌ها انجام شده و دامنه آن حیرت انگیز است: از تورم در کیهان‌شناسی تا تکنولوژی‌های بسیار انقلابی این قرن، همه این پیشرفت‌ها و پیش‌بینی‌ها بدون نگرانی در باب معنی معادلات مکانیک کوانتم حاصل شده است. اما این فراموشی از جهتی هم مخرب است: بسیاری از پیش‌رفت‌های بزرگ فیزیک با انگیزه‌های کاملا نظری رخ داده است و این فراموشی در باب معناشناسی معادلات مکانیک کوانتم تقریبا به طور کامل راه را برای این انگیزه‌های نظری ارزشمند می‌بندد.

*هر معناشناسی مسلما متصل به یک هستی‌شناسی است.

** البته موضوع به این سادگی نیست، از جهت تاریخی این که الگوریتم‌های محاسبه به عنوان بخشی از توصیف طبیعت به کار برده شوند بحث برانگیز بوده، برای مثال کتاب «جامعه شناسی اثبات ریاضی» بحث مبسوطی در این باره دارد، از جهت دیگر خیلی اوقات بعضی از هستی‌شناسی‌ها در حین تشکیل الگوریتم‌های محاسبه تغییر می‌کنند یا اصلاح یا دقیق می‌شوند، پس عملا رابطه‌ای دو طرفه و کمابیش همزمان و پیچیده بین هستی‌شناسی و الگوریتم‌های محاسبه وجود دارد اما از جهت منطقی معناشناسی و هستی‌شناسی مقدم بر الگوریتم‌ها هستند به این صورت که به آنها معنی میدهند.

 

انحنای کیهان FRW از کجا می‌آید؟ یا ورژن دوم «انبساط جهان یا دور شدن مواد؟»

در ادامه این یادداشت بالاخره یک پروژه ناتمام که کمی بیشتر از یک سال پیش در ذهن داشتم را تمام کردم: تغییرات ضریب مقیاس واقعا تحول فضا-زمان نیست، صرفا یک انتخاب هوشمندانه دستگاه مختصات است که معادلات حرکت ماده را به جای معادلات تحول فضا-زمان جا می‌زند!

 

مشکلی که من با نسبیت عام دارم این است که کل فضا-زمان را با هم نگاه می‌کند در حالی که در فیزیک این ناظرهای موضعی هستند که مهم‌اند و اصالت دارند. متریک FRW هم این مشکل را دارد، به جای این که از روی کنار هم گذاشتن اثر ناظران موضعی به دست بیاید از یک فرض سرتاسری به دست آمده که به نظر من اصلا جالب نیست. بنا بر این یادداشت جدیدی نوشتم که در آن اولا نشان می‌دهم ناظران موضعی تنها به چگالی و فشار ماده اطراف حساس هستند، ثانیا معادلات فریدمان در واقع معادلات حرکت ماده اطراف هستند و در نهایت کنار هم گذاشتن اثر ناظران اطراف و تشکیل متریک همراه دقیقا متریک FRW را تا مرتبه دوم مکان (اولین جمله غیر صفر) به دست می‌دهد. البته انگیزه اولیه نوشتنش چیز دیگری بود و به منشا انحنا فکر می‌کردم اما کم کم انگیزه های دیگری هم در این مسئله به هم پیوستند. یادداشت جدید این است:

 

انحنا در کیهان FRW

 

پ.ن: این که در این روزهای بسیار بسیار شلوغم نشستم و این یادداشت را کامل کردم که نه به درد تز دکتری میخورد و نه به کار دیگری می‌آید چند تا دلیل مختلف دارد، اول و مهمتر از همه این که دوست دارم، دوم این که تمرین تمرکز بود با چیزی که عاشق‌ش هستم تا برای باقی کارهایی که عاشقشان هم نیستم تمرکز کافی به دست بیاورم و قدری از تلاطم روزهای گذشته کم شود و از تلاطم جدا شوم شوم (مضاف بر این که ایده اش ته ذهنم بود و میخواستم که بیرون شود تا راحتتر تمرکز کنم)، سوم این که احساس می‌کنم این کارها چندان بیهوده نیست، چنین یادداشتهایی و چنین پروژه هایی شاید زودبازده نباشند اما زیربنای پژوهشی بسیار خوبی فراهم می‌آورند، وقتی اولین کسی هستی که به یک مسئله به نحو خاص خودت فکر میکنی و خیلی هم کتاب و جزوه‌ای نیست که این مسئله را حل کرده باشد تا آن را بخوانی، مجبوری خیلی چیزها را از اول یاد بگیری که این در آینده پژوهشی بسیار مهم است و علاوه بر این که زیربنای شهودهای اولیه خیلی چیزها می‌شود (از تورم و دوسیته بودن آن تا موضوع این که فضا-زمان چیست) توانایی فنی خیلی خوبی هم برای کارهای آینده برایم فراهم می کند، برای مثال کلی مطلب از رشته رشته کردن فضا-زمان و کلی توانایی در کار با تانسورها در میپل پیدا کردم که بعدا فوق‌العاده به کار می‌آیند. در واقع من بیشتر کارهای جذابی که کرده‌ام از دل چنین چیزهای بیخودی بیرون آمده که صرفا از روی علاقه یا کنجکاوی پیگیر آن بوده ام. حتی فیزیک خواندن من صرفا از روی کنکاوی شروع شد و من در دوره لیسانس دانشجوی فیزیک نبودم!

اندازه در نسبیت خاص

نظیر سرعت در نسبیت خاص می‌شود چهار-سرعت، یک چهاربردار که مولفه صفر یا زمانی آن dt/ds است و مولفه مکانی آن dx/ds که ds تغییر ساعت متحرک است و در رابطه معروف متریک صدق می کند:

ds²=dt²-dx²

با وجود این که چهار سرعت قرار است نقش سرعت را بازی کند و ضرب جرم در چهار سرعت است که چهارتکانه را شکل می‌دهد اما تفاوت‌هایی جدی در نسبیت خاص وجود دارد: اولین تفاوت این است که اندازه چهارسرعت (اندازه مینکوفسکی) همیشه ثابت است! در حالی که در دنیای کلاسیک سرعت آشکارا تغییر می کند. اما از یک جهت این عجیب نیست، چهار سرعت در واقع جا به جایی مختصاتی تقسیم بر تغییر زمان متحرک یعنی ds است اما تغییر زمان متحرک طبق متریک اساسا چیزی جز جا به جایی فضا-زمانی متحرک نیست، بنا بر این اندازه چهار سرعت میشود اندازه جا به جایی تقسیم بر اندازه جا به جایی، یعنی 1 ! بنا بر این باید هم ثابت باشد. اعجاب اصلی اینجاست که چرا جا به جایی فضا-زمانی متحرک دقیقا برابر با تغییر ساعت خودش است و چرا متریک منفی دارد؟

 

اعجاب دیگری هم که هست این است که تعریف هموردای چهارنیرو عمود بر چهارتکانه و چهار سرعت است، همین باعث می شود نتوان به راحتی مثل مورد مکانیک نیوتونی، از یک پتانسیل حرف زد که گرادیان آن برابر نیرو می شود. در واقع حتی اگر بتوانیم کورکورانه آن عبارت جبری مکانیک نیوتونی در باره پتانسیل و نیرو را به فرم هموردای نسبیتی ارتقا دهیم، پتانسیل حاصل شده همان معنای پتانسیل نیوتونی را ندارد که با انرژی جمع می‌شود، اگر تقاضا کنیم آن معنی را داشته باشد (یعنی پتانسیلی که با انرژی جمع می شود) باید پتانسیل را به فرم غیر هموردا تعریف کنیم، یعنی مولفه صفر یک چهاربرداری که قسمت برداری آن دست بر قضا صفر شده است، یعنی قسمتی از یک چهارپتانسل الکترومغناطیسی. شاید به همین دلیل است که در نسبیت خاص حرف زدن راجع به تبادل تکانه بین ذرات در آزمایش برخورد ذرات راحت تر از حرف زدن در باره یک نیروی معلق در فضا باشد (گرچه همچنان به کمک آن چهارپتانسیل الکترومغناطیسی می‌توان این حرف را زد) در واقع هر نوع برهمکنش از راه دور در نسبیت خاص نامعتبر است، تنها برهمکنش موضعی نهایتا با میدان موضعی معتبر است (فصل نسبیت خاص گلدشتاین قسمت لاگرانژی هموردا در این زمینه نکات خوبی دارد)

 

پ.ن: خیلی تابلو است که در این قرنطینگی به بنیادهای فیزیک برگشته ام؟ :)) به نظرم فرصت کاملا مناسبی است، پنج شش روزی روی قسمتی از پروژه قدیمی‌ام کار می کردم: این که از یک ناظر سقوط آزاد با مشخصاتی خاص بتوانم متریک فریدمان را استخراج کنم، دست کم قسمت اول آن را انجام دادم، قسمت دومش را نگه داشته ام برای بعدتر، این در واقع ادامه ایده پست قبلی‌ام است و کلی چیز خوب یاد گرفتم در این پروژه. چند مقاله پایه ای هم خواندم و در دستور کار دارم تا شکافهای سواد فیزیکی ام  (مثل ترمودینامیک ) را هم پر کنم اگر زنده بمانیم و دوباره مثل اسفند سیل کلاس و کار روی سرم آوار نشود.

انبساط فضا یا دور شدن مواد؟

دو شهود متفاوت در باره انبساط جهان در کیهان‌شناسی وجود دارد: طبق شهودی نسبتا معروف انبساط جهان و دور شدن کهکشان‌ها از هم محصول کش آمدن فضا است. این شهود مستقیما به متریک فریدمان در کیهان شناسی برمی‌گردد که به نظر کاملا با آن سازگار است. اما شهود دیگری هم وجود دارد: مواد داخل کیهان به خاطر سرعت اولیه از هم دور می‌شوند و هیچ کش آمدنی در کار نیست. راستش من همیشه با شهود اول علی‌رغم زیبایی و سادگی‌اش مشکل داشتم. حالا در یادداشتی کوتاه سعی کرده‌ام نشان دهم که شهود دومی خیلی چیزها را خیلی بهتر از شهود اولی توضیح می‌دهد:

 

انبساط جهان: کش آمدن فضا یا سرعت اولیه؟

 

اگر قدری نسبیت خاص و قدری کیهان شناسی بلد باشید و این سوال برای شما هم مطرح باشد احتمالا لذت وافری خواهید برد. اگر نبردید ببخشید.

مکانیک کلاسیک کوانتمی!

من برنامه‌ای در ذهن داشتم (دارم) برای این که کوانتم را بفهمم: درون فضای هیلبرت (که جهان مکانیک کوانتمی است) مکانیک کلاسیک را پیاده کنم تا بعد ببینم چه اتفاقی می‌افتد که از مکانیک کلاسیک به مکانیک کوانتم می‌رسیم. به عبارتی فرق دقیق مکانیک کلاسیک و کوانتم چیست؟ امید داشتم که اگر بتوانم مکانیک کلاسک را به زبان فضای هیلبرت بنویسم، بتوانم پیدا کنم که چه مکانیزمی باعث ترکیب تکانه و مکان شده و اثرات کوانتمی را ایجاد می‌کند.

 امروز در دانشگاه (در انتظار آمدن مسئول آموزش!) کمی به این موضوع جدی‌تر فکر کردم، راستش فکر کنم نشدنی است، قصه اینجاست که در مکانیک کلاسیک، حالت ذره در فضای فاز با مقدار مکان و تکانه اش داده می‌شود و این دو از هم مستقل هستند، اما در مکانیک کوانتمی حالت ذره فقط با تابع موج داده می‌شود و دانستن توزیع مکان ذره برای دانستن توزیع تکانه ذره کافی است، به عبارتی مکان و تکانه کمیت مستقل از هم نیستند و روی هم تصویر دارند (تنها با پایه مکان می‌توان تمام فضای هیلبرت را پوشاند) بنا بر این فضای هیلبرتی که مکانیک کلاسیک لازم دارد بزرگتر از فضای هیلبرتی است که مکانیک کوانتمی نیاز دارد. بنا بر این ترجمه مکانیک کلاسیک به مکانیک کوانتمی تقریبا ممکن نیست مگر این که فضای هیلبرت بزرگتری در نظر بگیریم که در گذر به مکانیک کوانتمی باید قسمتی از این فضای هیلبرت را دور بریزیم یا فرض کنیم از گذر از کلاسیک به کوانتم فضای هیلبرت عوض می شود که خُب، فرض عجیبی است.

از طرفی حین بحث با بچه‌ها در اتاق داشتم فکر می‌کردم این اصرار ما بر این که ذره واقعا تکانه و مکان دارد تنها دلیل این است که ما عدم قطعیت کوانتم را نمی‌فهمیم، اگر نگاه نظریه میدان داشته باشیم هم گسسته بودن طیف انرژی میدان به دست می‌آید (که به یک معنی ذره است) هم اندازه گیری مکان ذره ترجمه می‌شود به محدود کردن میدان در یک فضای مشخص، که این محدود کردن باعث گسترده شدن تبدیل فوریه می‌شود که به مولد انتقال (یعنی تکانه) مربوط است و بنا بر این چیزی مثل عدم قطعیت هیچ چیز عجیبی نیست. اما دو چیز عجیب هنوز باقی می‌ماند: یکی در هم تندیگی است که مربوط به فضای هیلبرت است و ارتباطی با فیزیک درون فضای هیلبرت ندارد، دومی که به اولی هم مربوط است رمبش تابع موج است که هر دو در نظریه میدان کوانتمی هم حضور دارند. گذشته از این نظریه میدان کوانتمی ریاضیات مریضی دارد و بحث عدم قطعیت هنوز در مورد مقدار میدان و سرعت میدان برقرار است و معنی میدان کوانتمی دقیقا مشخص نیست.

نمی دانم!

منشا جمله انحنا

همیشه سوالی که در کیهان شناسی ذهنم را مشغول می کرد این بود که چرا ربطی بین جمله انحنای جهان و تنظیم بودن سرعت و ماده وجود دارد، چرا عدم تنظیم این دو باعث به وجود آمدن انحنای فضایی می شود؟ چند وقت پیش مسئله ای حل کردم که نوید راه حل را میداد: اگر به یک جهان بدون ماده (چگالی=0) دارای ثابت هابل نگاه کنید چیز مزخرفی خواهید دید: یک جهان خالی اما دارای انحنا و در حال انبساط! اما می توان نشان داد با تبدیل مختصات این متریک همان متریک جهان تخت مینکوفسکی است. بنا بر این شاید بتوان منشا انحنا را در انتخاب سطوح زمان-ثابت جست و جو کرد طوری که چگالی را همیشه یک نواخت نگه دارد.

 

خُب شروع به ضرب و تقسیم کردم، انتظار داشتم در یک جهان نیوتونی که سرعت ها در یک لحظه به صورت هابلی تنظیم شده اند، اگر جمله انرژی وجود داشته باشد چگالی یکنواخت باقی نمی ماند بنا بر این برای یکنواخت باقی ماندن چگالی مجبوریم مختصات را جوری تغییر دهیم که سطوح چگالی-ثابت روی خطوط زمان ثابت قرار بگیرند و این به صورت مصنوعی برای قسمت فضایی انحنا ایجاد می‌کند.  اما چیزی که دیدم این بود: در یک جهان کاملا نیوتونی، حتی با وجود جمله انرژی (ناشی از عدم تنظیم سرعت و ماده) باز هم چگالی یکنواخت باقی می‌ماند و نیازی به انحنای فضایی نیست. شِت!

 

تمام این سوال و جوابها برای من در راستای یافتن این نکته است که انبساط هابلی چگونه کار می‌کند، به نظر انبساط فضا-زمان است اما نیست، دقیقا انبساط ماده است و خُب سوال اینجاست که انبساط ماده چطور باعث می شود مدهای کوانتمی از درون افق به بیرون افق کشیده شوند. الله اعلم!

اندر گوسیت

یکی از مهمترین مشاهدات کیهانشناسی این است که تابع زمینه کیهان با تقریب خوبی گوسی است. چندین بار ضرب و تقسیم کرده‌ایم که ناگوسی بودن یا انحراف از گوسی‌یت چگونه به وجود می‌آید و نتیجه آن تابع همبستگی سه نقطه‌ای غیرصفر است. ما همیشه در ضرب و تقسیم این سوال را داشتیم که این گوسی بودن چه ربطی به توزیع گوسی تک متغیری که در آمار و احتمال خوانده‌ایم دارد؟ و تقریبا هیچ ربطی پیدا نمی کردیم!

حالا فکر کنم ربطش را پیدا کرده‌ام. می‌گذارم اینجا تا اگر کسی هم خواست ربطش را بداند، بداند (قسمت اول متن تقریبا ساده و مقدماتی است و برای کسی که آمار واحتمال خوانده چیز جدیدی ندارد، قسمت دوم آن فقط مکانیک کوانتمی 1 است و قسمت سوم آن تقریبا هیچ ریاضی ندارد اما برای کسی قابل فهم است که دست کم یک بار ضرب و تقسیمِ نظریه اختلال کیهان شناسی را انجام داده)

اندر گوسیت

درجات آزادی دینامیکی

یادم می‌آید تقریبا پارسال (یا شاید پیارسال) بود که با مسئله شمردن درجات آزادی دینامیکی رو به رو شدم، راستش اولش کاملا با این کار ناراحت بودم، اصلا درجات آزادی دینامیکی یعنی چه؟ فقط درجات آزادی دینامیکی معنی دارند یا غیر دینامیکی‌ها هم مهم‌اند؟ و کلی سوالِ دیگر، یادم می‌آید که برایم نامعلوم بود، نحوه شمردن برایم عجیب بود، این که اصلا به چه دلیل یک سری درجات آزادی غیر دینامیک می‌شوند، دلیلش آزادی پیمانه‌ای است یا از معادلات حرکت به تنهایی می‌توان درجات آزادی دینامیک را شمرد و ...

این یکی دو روز که مسئله گرانش و تجزیه ADM متریک فکر می‌کردم و این که درجات آزادی دینامیک کدام اند، دوباره سعی کردم معنی درجات آزادی دینامیک و نقش فیزیکی درجات آزادی غیر دینامیک را بهتر بفهمم که حاصلش در یک مدل اسباب بازی ساده (یعنی الکترومغناطیس) شد نوشتار زیر

فیزیک و درجات آزادی منتشر شونده (دینامیکی)

نتیجه خلاصه این که درجات آزادی غیر دینامیک هم مهم‌اند و فیزیک دارند (نشان به آن نشان که بیشتر حل های نسبیت عام که ما آن علاقه‌مندیم اصلا هیچ نشانی از درجات آزادی دینامیکی ندارند و تماما حاصل شده از درجات آزادی غیر دینامیک هستند) و در این نوشتار نشان دادم که دست کم در مورد الکترومغناطیس به طور دقیق می‌توان دید که درجات آزادی دینامیکی به طور کامل از روی تحلیل و ترکیب معادلات حرکت (بدون دانشی از آزادی پیمانه‌ای) قابل استخراج است و با آزادی پیمانه‌ای می‌توان آن را صریح‌تر دید. این را نوشتم که دوباره از یادم نرود و اگر کسی همین سوال را داشت شاید کمکش بشود.

پ.ن1: درجات آزادی دینامیک در کوانتمی کردن مهم اند اما هنوز مطمئن نیستم که آیا در نظریه میدان کوانتمی می‌توان از روی درجات آزادی دینامیکی نتایج درجه آزادی غیر دینامیک تئوری کلاسیک را اسختراج کرد یا نه. گرانش کوانتمی به فرم ADM را باید اگر وقت کنم یاد بگیرم

پ.ن2: می‌توانم روحیه‌ی الانم را با آن موقعی که فیزیک نمی‌خواندم مقایسه کنم، تفاوت از زمین تا آسمان است. امیدوارم آن طور که می‌گویند دکتری در ایران این روحیه را نابود نکند.

پ.ن3: یک کارِ برقی باقی مانده دوران باستانی برقم هنوز باقی است، واقعا در مقایسه با فیزیک هیچ علاقه‌ای به آن ندارم (مخصوصا که کارفرمای عزیز علایق خاصی دارد که من اصلا ندارم) و وقتم را میگیرد و از فیزیک دورترم می‌کند که باعث می‌شود حسم نسبت به این کار بدتر شود، با وجودِ این که شاید پولش زندگی‌ام را عوض کند. انشالله تا آخر این تابستان تکلیفش مشخص می‌شود.