پی‌آمد

این هفته‌های اخیر که بالاخره از شر* موضوع منطق ریاضی خلاص شدم چند کتاب فوق‌العاده خواندم و مغزم رفت به سمت موضوع فلسفه ریاضی. بعد از نا تمامیت، فلسفه ریاضی استیفن بارکر را خواندم، اطلاعات تاریخی بسیار جالبی داشت و تفکیک خوبی بین مکاتب مختلف در فلسفه ریاضی انجام داده بود (خیلی بهتر از گولدستین) گرچه چون چاپ 1349 بود و این اختلاف زمانی 50 ساله خواندن کتاب را به دلیل انتخاب خاص کلمات مشکل می کرد اما در مجموع جذاب بود. ولی نه به جذابی جامعه‌شناسی اثبات ریاضی! در کتاب دوم که غلام‌حسین مقدم حیدری نوشته (تنها کتابی از حیدری که نخوانده بودم ) او با مهارت، ایده فلسفه علم کوهن را به درون ریاضیات می‌برد. محوری‌ترین این ایده‌ها تاثیرات جامعه‌شناسی بر ریاضی است.

این که اقتضائات جامعه‌شناختی بر دانش زمان (حتی ریاضی و منطق) تاثیرگذار باشند برای من عجیب نیست (آنقدر با فلسفه علم کوهن و بازی‌های زبانی ویتگنشتاین خو گرفته‌ام که این ایده را به راحتی بپذیرم) اما چیزی که برایم بسیار جذاب بود تفاوت ریاضیات تحلیلی و ترکیبی بود. همیشه از دبیرستان به بعد برایم سوال بود که چرا هندسه اقلیدسی دبیرستان این قدر با بقیه ریاضیاتی که تا الان خوانده‌ام متفاوت است؟ و چرا اصلا امروز پیگیری نمی‌شود؟ این کتاب شرح همین تفاوت است، که چرا و از کجا شروع شده است. اما هیجان‌انگیزتر از آن فهم این نکته بود که چرا نام کتاب‌های مکانیک ما «مکانیک تحلیلی» است و چرا حساب دیفرانسیل و انتگرال همیشه با «هندسه تحلیلی» مطرح می‌شود. در واقع هر دوی این چراها پاسخی یکسان دارد: استفاده از روش‌های تحلیلی، روش‌های مبتنی بر ارجاع به دستگاه مختصات، نوشتن فرمول، حل معادلات جبری و در یک کلام، تحلیل (یا حل کردن و تجزیه کردن) هندسه و مکانیک به مجموعه  نقاط فضا-زمان. این روش کمتر مبتنی بر شهود و نبوغ و بیشتر مکانیکی است (مکانیکی به معنای الگوریتمی که در چند گام شما را به جواب می‌رساند بدون این که نیاز به استفاده فراوانی از نبوغ داشته باشد) اما روش‌های ترکیبی کاملا برعکس هستند، شما باید نبوغ فراوانی به خرج دهید تا با روش ترکیبی (ترکیب قضایا و تعاریف) نکته‌ای یا قضیه‌ای جدید را اثبات کنید.

روشهای ترکیبی نوعا زیباتر هم هستند برعکس روشهای تحلیلی که مکانیکی‌‌اند آنچنان زیبا نیستند اما در مقابل کاربردشان آسان‌تر است. اما تفاوت این دو در آن زمان صرفا به تفاوت «زیبایی» و «کاربرد» محصور نمی‌شد. تفاوت عمیقی در نگاه متافیزیکی به هردوی این روش‌ها وجود داشت: هندسه ترکیبی یا «هندسه محض» (همان هندسه اقلیدسی با روش اصول موضوعه‌ای) نه فقط روشی برای توصیف جهان بلکه حقیقتی جهانی و مقدس بود و حتی وجه‌های الاهی و مذهبی داشت (کما این که افلاطون استدلال‌های مذهبی بسیاری تنها با اتکا به حقیقت دانش ما از هندسه انجام می‌داد) بنا بر این فیزیک‌دانان و منجمان که راجع به حقیقت جهان بحث می‌کردند باید از روش‌های ترکیبی استفاده کنند نه تحلیلی** در مقابل روش‌های تحلیلی کاملا کاربردی و خاکی جلوه می‌کنند. این تفاوت حتی در اعتقادات طرفداران هر دو روش هم بازتاب دارد: طرفداران روش‌های تحلیلی معمولا انقلابیونی تند و تیز هستند که میانه خوبی با مذهب ندارند (لاپلاس در این مورد یک نمونه اعلی است، ریاضی‌دانی که حتی خدا را باور ندارد چه برسد به مذهب) از سوی دیگر طرفداران روش‌های ترکیبی معمولا محافظه‌کاران سنتی هستند که نوعا معتقد به مذهب‌اند (حتی خود نیوتون آدمی عمیقا مذهبی بود).

نهایتا با توسعه روزافزون روش‌های تحلیلی، کاربرد آسان، تناسب با اعتقادات غیر دینی و ... این ریاضیات تحلیلی بود که پیروز شد. هر چند در این مرحله دلیل پیروزی ریاضیات تحلیلی برای من جالب نیست اما به عنوان کسی که هر روز با این ریاضیات کار می‌کنیم بسیار هیجان‌انگیز و مفید بود که بدانم این ریاضیات تنها نوع قابل فهم ریاضیات نیست و مفهوم ریاضی در طول زمان تغییر فراوانی کرده، این ریاضیات صورتگرای امروز محصولی نسبتا جدید (کمتر از 500 سال) است.

*شر که نبود واقعا دوست داشتم، اما خُب از یک حدی بیشتر فنی باشد واقعا آدم را اذیت می‌کند، خصوصا در طولانی مدت.

**من کتاب «اصول ریاضی فلسفه طبیعی» نیوتون را در قفسه دارم و ورق زده ام، همیشه برایم سوال بود که چرا با وجود این که نیوتون کاملا به روش‌های تحلیلی آشناست و حتی حساب دیفرانسیل و انتگرال که ابداع کرده کاملا درون پارادایم روشهای تحلیلی قرار دارد، خودش در کتاب مکانیک خودش از روش‌های کاملا ترکیبی استفاده می‌کند و هیچ معادله‌ی دیفرانسیلی در دستگاه دکارتی حل نمی کند؟ چرا برای رسم یک مماس بر بیضی از روش قضایای پیچیده هندسه اقلیدسی برای مقاطع مخروطی استفاده می‌کند؟ جواب این چراها همین نکته است: از دید نیوتون طبیعتِ مقدس از واقعیت هندسه محض و ترکیبیِ مقدس پیروی می‌کند نه از روشهای خاکی تحلیلی. جواب به این سوال به این نحوه غیر منتظره برایم کاملا هیجان‌انگیز بود.

پ.ن تحلیلی: روشهای تحلیلی روشهای معمول فیزیک امروز هستند، خوب که فکر می‌کنم یادم می‌آید ما همیشه در حل مسائل فیزیک، دو بخش عمده داریم: 1. تشکیل معادله درست 2. حل آن معادله.  کمابیش همیشه قسمت 1 را فیزیک محسوب می‌کنیم و 2 را ریاضی و در میانه ی حل مسئله همیشه حسی داریم که این قسمت کار فیزیکِ مسئله است و آن قسمت ریاضیات (با لحنی که گویا ریاضی چیزی جدا از فیزیک است) یکی دیگر از چیزهایی که از تمایز میان تحلیلی و ترکیبی یاد گرفتم این بود که این جدایی فیزیک و ریاضی یا 1 و 2 صرفا به خاطر روشهای تحلیلی است و این که  احساس میکنیم مسئله قسمتی دارد مثل قسمت 2 که صرفا باید روشهای کور حل معادلات ریاضی را به کار ببریم، نتیجه مستقیم ظهور روشهای تحلیلی است و جالب این که در کتاب هم به ماهیت مکانیکی روشهای تحلیلی اشاره شده که به شهود فراوانی نیاز ندارند.

پ.ن کتابی: الان دارم کتاب فلسفه براوئر را می‌خوانم، فکر کنم بعد از این حداکثر یک یا دو کتاب دیگر راجع به موضوع فلسفه ریاضی بخوانم. این روزها سرما خورده ام و این کتاب هم آنچنان روان نیست.

پ.ن ریاضی: یادم آمد که علاقه من به بنیادهای ریاضی مربوط به قبل از آشنایی من با فلسفه علم است، من کتاب نظریه مجموعه ها را پنج سال پیش، قبل از خواندن فلسفه علم شروع کرده بودم و هر دو کتاب منطق ریاضی را همان موقع ها خریدم.

پ.ن سیاسی: دل‌مشغولی‌های سیاسی برای من مهم و جدی‌اند، اما چرا این‌جا هیچ بازتابی ندارد؟ دلیل پیچیده‌ای ندارد، نظر من در سیاست احتمالا خیلی عمیق‌تر از نظر رهگذر سر کوچه‌مان نیست که معتقد است «آقا کار، کار خودشونه». ترجیح می‌دهم در این زمینه عمیق مطالعه و فکر کنم، فعلا اوضاع بر مدار هیجان است و هر کسی فُحشی می‌دهد، من ترجیح می‌دهم فکر کنم، تجربه تاریخ نشان داده نتایج فُحش و «هر چی بیاد از اینا بهتره» و هیجاناتی از این دست، هرگز خوشآیند نیست.

پ.ن حاشیه: لعنتی‌های حاشیه دوست، پست قبلی من رکورد بازدید در کوتاه مدت و لایک را شکست! چرا این قدر حاشیه دوست دارید؟