چکیده راه: نسبی‌گرایی و تقدس

 حس بسیار خوب و عالی از نوشتن این متن داشتم، این متن چکیده و عصاره و نتیجه تمام این سالهای فلسفه‌علم خوانی من است، دوست داشتید بخوانید و نظرتان را بنویسد:

من به ترسناک‌ترین قسمت نسبی‌گرایی رسیده‌ام: منطق هم نسبی است! به قول رفیقی اگر منطق هم نسبی باشد دیگر معلوم نیست چه چیز نسبی نیست! و خُب، واقع به نظر می‌رسد تقریبا همه چیز نسبی است. قبل از این که من را محکوم کنید به حماقت و زیاده‌روی در نسبی‌گرایی و چرت و پرت گفتن اول ادامه نوشته را بخوانید تا هم منظورم را از نسبی‌گرایی بفهمید هم بفهمید چرا به نظر اغلب آدم‌ها نسبی‌گرایی ترسناک یا غیر قابل قبول است و هم چرا به نظر من اشکالی ندارد که همه چیز نسبی باشد.

اغلب اوقات ما آدم‌ها وقتی چیزی (کتاب، دین، آیین، ایده، روش، جمله، شخص، علم، پارادایم ، عقیده و....) را مقدس کنیم اولین کاری که می‌کنیم این است که ناخودآگاه آن را از زمینه‌اش جدا می‌کنیم، زمینه چیست؟ زمینه معمولا (و نه همیشه) همان بافت تاریخی، فرهنگی، اجتماعی، بشری و یا حتی کاربردی است که آن چیز درونش ظهور کرده یا حضور داشته. مثلا مسلمانان عادت دارند قرآن را از زمینه اجتماعی و تاریخی حجاز 1400 سال پیش جدا کنند و بگویند قرآن کتابی برای تمام اعصار و قرون است (حال آن که خودِ همین ادعا چه در احادیث و چه در خودِ قرآن به ندرت دیده می‌شود، لااقل من چنین ادعایی از طرف منابع دست اول دینی را در خاطر ندارم) شیعیان رفتار و واکنش‌های امامان مثل شهادت امام حسین (ع) در برابر بیعت نکردن با یزید را از زمینه تاریخی اجتماعی‌اش جدا کرده و آن را تبدیل به نسخه‌ای می‌کنند مثل فرهنگ مقاومت و شهادت که در تمام زمان‌ها و مکان‌ها باید به آن پایبند بود. علم‌گراها و دانشمندان دوست دارند علم را از زمینه اجتماعی و تاریخی که در آن ظهور کرده جدا کنند و حتی بدتر، روش علمی را از زمینه مسائلی که نوعا روش علمی برای پاسخ به آنها به وجود آمده جدا کنند و ادعا کنند روش علمی روشی عقلانی برای تمام مسائل در تمام زمان‌ها و ملیت‌ها و دین‌هاست (به یاد بیاورید این جمله زیاد تکرار می‌شود که نتایج آزمایش‌های علمی ربطی به ملیت و عقاید اشخاص ندارد، این همان تلاش برای تقدس بخشیدن به روش علمی است در حالی که نتایج آن آزمایش‌ها بیشتر به خاطر آموزشهای قبلی یکسان و شرایط آزمایش یکسان است که ربطی به ملیت ندارند نه به خاطر ماهیت مستقل از زمینه یا مقدس علم)، فمنیست‌ها فمنیسم را از زمینه اجتماعی اقتصادی و تاریخی-جغرافیایی آن جدا می‌کنند و آن را تلاشی می‌دانند برای زدودن نابرابری بین مردان و زنان در هر جامعه‌ای که نابرابری در آن موجود باشد مستقل از بافت فرهنگی و تاریخی جامعه و مستقل از زمان و جغرافیا (ظهور فمنیسم با گسترش فردگرایی و سرمایه داری شدیدا گره خورده است). مارکسیست‌ها افکار مارکس را از زمینه اجتماعی، تاریخی و فلسفی که مارکس در آن زندگی کرده جدا می‌کنند و آن را نسخه‌ای برای تمام بشریت در تمام زمینه‌ها می‌دانند. راست‌گراهای اقتصادی ایده‌های بازار آزاد را از زمینه تاریخی و فرهنگی مبدع آن ایده جدا می‌کنند تا آن را به همه زمان‌ها و مکان‌ها تعمیم دهند، حتی نسبی‌گرایان افراطی (آن‌ها که نسبی‌گرایی را مقدس می‌کنند) نسبی‌گرایی را از زمینه فلسفی، تاریخی و اجتماعی ظهورش جدا می‌کنند تا آن را به عنوان نسخه‌ای برای تمام اعصار و قرون تجویز کنند (زمینه اجتماعی نسبی‌گرایی در واقع ظهور انبوهی از تئوری‌ها و ایده‌های مستقل از هم است که در شرایط خاص خودشان کارامد هستند و به دلیل گستردگی ارتباطات، این ایده‌ها و تئوری‌ها همگی شنیده و اجرا می‌شوند، حیرت حاصل از مواجهه با این انبوه ایده‌ها و پارادایم‌های متقابل و قیاس ناپذیر است که به اندیشه‌های نسبی‌گرایی دامن زده است).

لیست بالا را می‌توان تا هر میزان دلخواهی طولانی کرد، اما الگوی کلی کمابیش ثابت است: امر مقدس از زمینه‌اش مستقل است، برتر از آن است و بالاتر از آن، به همین معنی هم مطلق است یعنی در هر زمینه و زمان و شرایطی که باشد همین است که هست. در هر جامعه‌ای که قدم بگذارید و ذهن هر کسی را کند و کاو کنید از این امور مقدس خواهید یافت* اما به محض این که آنها با این کلام مواجه شوند که «آن چیزِ مقدس شما مطلق نیست یا نسبی است» فورا آن را به «آن چیز مقدس شما غلط است» ترجمه خواهند کرد و با شما به جنگ برخواهند خواست. اما معنی نسبی بودن دقیقا همین وابسته به زمینه بودن است، نه غلط بودن. بگذارید خطوط استدلال را از زمانی که این افکار در من شکل گرفت دنبال کنیم:

اولین جایی که با چنین افکاری مواجه شدم فلسفه علم توماس کوهن بود: او با اتکا به بعضی ایده‌های روانشناسی درباره ادراک انسان، یادآور می‌شود که علم به عمل‌کننده آن (انسان) مربوط و به آن وابسته است، حتی کسانی که خیلی از جنبه‌های فلسفه علم او را قبول ندارند نهایتا می‌پذیرند که این کوهن بود که به ما یادآور شد که دانشمندان انسان هستند نه ماشین‌های تولید نتایج منطقی. وابسته کردن علم به انسان (یعنی زمینه‌اش) می‌تواند از طریق وابسته کردن خود انسان به زمینه تاریخی و فرهنگی و اجتماعی، علم را هم به این زمینه مربوط کند. با این همه یکی از جذاب‌ترین نتایج این فلسفه علم فراهم کردن پایه‌های نقد تجربه‌گرایی دقیقا با اتکا به زمینه آن بود: تجربه‌گراها (اعم از پوزیتویست‌ها و ابطالگراها) مفاهیم تجربی مثل جرم و نیرو و .... را مقدس، عینی و مستقل از زمینه و زمان و نژاد و ملیت در نظر می‌گیرند در حالی که تقریبا تمام مفاهیم تجربی در طی زمان و با بحث و جدل جا افتاده‌اند به همین خاطر به زمینه تاریخی‌شان وابسته‌اند و نمی‌توان آنگونه که تجربه‌گراها ادعا می‌کنند تئوری‌ها را به نحوی کاملا مطمئن بر مبنای آنها ساخت، تئوری‌ها و مفاهیم تجربی در ارتباط با هم در طول زمان ساخته می‌شوند. هر چند بیشتر جنبه‌هایی از حرفهایش که آن موقع برای من جذاب بود خصلت پارادایم گونه ادراک ما است؛ این که ما با عینکی که به آن ایمان میاوریم آموزش می‌بینیم تا دنیا را به گونه‌ای خاص ببینیم و این آموزش‌ها نهایتا داده‌های علوم تجربی را با نظریه می‌آمیزد تا ما نه داده خالص داشته باشیم و نه نظریه خالص. البته او همیشه با این اعتراض رو به رو بوده که عقلانیت علم را به چالش کشیده است اما خودش جواب جالبی می‌دهد: معنای عقلانیت آن چیز سفت و سختی که فکر می‌کنید نیست و همین جمله بود که شاید مرا به سمت نسبی‌گرایی کشاند.

بعد با فایرابند آشنا شدم و این که وقتی نگاه پارادایم‌ها را برمی‌گزینیم و به بیرون از حوزه علم می‌بریم (اساسا در نگاه پارادایمی، فرق علم و غیر از آن مشخص نیست) چاره‌ای جز این نداریم که قبول کنیم همه پارادایم‌ها کما بیش ارزش یکسانی دارند چرا که درستی و غلطی و ارزش و ضد ‌ارزش تنها درون پارادایم معنی دارد به همین دلیل و این که هیچ فراپارادایمی وجود ندارد که درستی و ارزش را خارج از تمام پارادایم‌ها تعریف کند به همین دلیل پارادایم‌ها از دید ناظرهای بیرونی ارزش و درستی یکسان دارند! فایرابند یک لیبرال شدید است و از روی همین لیبرالیسم است که به نسبی‌گرایی روی می‌آورد، او به مدعای خودش شاهد دانشجویانی بود که از محیط و زمینه فرهنگی و جغرافیایی بسیار دور از غرب (مثل قلب آفریقا یا آسیا) به آمریکا آورده شده بودند تا عقلانیت ( ِ غربی) را آموزش ببینند اما فایرابند با دیدن آوارگی و حیرت آنها از خود می‌پرسد که «ما کی هستیم که به این‌ها عقلانیت را آموزش دهیم؟ چرا عقلانیت ما برتر از آن چیزی است که این دانشجویان بخت برگشته از آن فرهنگ آمده‌اند؟ چه کسی چنین تضمینی داده که ما عقلانی و عینی هستیم و آنها نه؟» آشنایی فایرابند به روشهای مردم‌شناسی نیز در این بین بی‌تاثیر نبوده، روش مردم‌شناسان در شناخت یک فرهنگ متفاوت از فرهنگ غربی این است که با آن فرهنگ زندگی کنند و مناسک و آیین‌های آنها را انجام دهند، در این حین مردم‌شناسان متوجه می‌شوند که  نباید دلیل و منطق انجام این مناسک را نعل به نعل به دلیل و منطقی به ظاهر مشابه در فرهنگ غربی ترجمه کرد، هر مناسکی که در جامعه وجود دارد در کنار دیگر مناسک و آیین‌ها و در بستر فرهنگی همان جامعه معنی دارد و لزومی ندارد که معنی مثلا مناسک دود کردن گیاهی خاص را شبیه معنی ضد عفونی کردن یک اتاق بدانیم، آن یک چیز است و این یک چیز دیگر، بنا بر این و با اتکا به این جدایی عمیق فرهنگ‌ها هیچ راهی وجود ندارد که عقلانیت غربی را برای همه اثبات کنیم، بنا بر این عقلانیت غربی و علم تبدیل می‌شود به یکی از انواع فرهنگ‌ها و سنت‌ها در کنار سایر سنت‌ها مثل جادوگری و .... این سرآغاز اندیشه‌های نسبی‌گرایانه‌ای بود که فایرابند در دل من کاشت. او که علم و جادوگری را هم ارز می‌دید و منطق هم از نظرش نسبی بود. این نسبی‌گرایی آنقدر در نظرم عجیب اما منطقی بود که در پی ریشه‌هایش رفتم سراغ ویتگنشتاین و حالا نوبت ویتنگشتاین بود.

ویتگنشتاین (که قبلا در باره او فراوان نوشته‌ام) در این بین بیشترین تاثیر را در عمیق شدن این نسبی‌گرایی داشت و عمده نگاه‌ها را مدیون او هستم، او در فلسفه اولش سعی می‌کند این ایده را صورت بندی کند که نهایتا همه جملات در تمام زبان‌ها زیربنای منطقی واحدی دارند و برگرداندن آنها به آن صورت زیربنایی واحد همه مشکلات فلسفه را حل می‌کند اما بعدا علیه این ایده خودش می‌شورد و منکر وجود یک منطق زیربنایی واحد می‌شود و می‌گوید ما بازی‌های زبانی بسیار متعددی داریم که هر کدام منطق منحصر به فرد خودشان را دارند که در ارتباط با نحوه معیشت خاص مربوط به آن بازی زبانی ساخته می‌شوند. اگر علم را (و هر عقیده و پارادایم دیگری را) نوعی بازی زبانی بدانیم، آن نیز در ارتباط با طبیعت به نحو خاصی ساخته و تدوین شده و یک ارتباط پیچیده و دو سویه بین مفاهیم و منطق از یک سو و تجربه و مشاهده از سوی دیگر وجود داشت تا نهایتا علم شکل بگیرد. پس بازی‌های زبانی در ارتباط با موضوع خاصی که آن بازی راجع به آن است ساخته می‌شود و هیچ لزومی برای وجود ترجمه بین بازی‌های زبانی نیست و شاید خیلی از بازی‌ها نتوانند بین هم دیالوگ برقرار کنند. اینجا همان جایی است که فایرابند و کوهن و و ویتگنشتاین و مردمشناسان به هم می‌رسند: همان طور که مناسک و آیین‌ها را باید در بستر فرهنگی‌شان فهمید و نباید برای فهمشان آنها را وارد بستر فرهنگی اجتماعی خودمان بکنیم، همان طور هم هر جمله مربوط به یک بازی زبانی را باید در همان بازی زبانی معنی کنیم، و همان طور نیز هر جمله یک پارادایم علمی را باید درون همان پارادایم معنی کنیم، جمله ای در پارادایم علمی ارسطویی، درون پارادایم مکانیک نیوتونی کاملا بی‌معنی جلوه خواهد کرد و جملات مکانیک کوانتمی احتمالا درون پارادایم مکانیک نسبیتی نامفهوم جلوه خواهد کرد (و همین ترجمه ناپذیری‌هاست که باعث میشود رویای «بهترین» بودن علم یا هر سنت دیگری نسبت به دیگر سنت‌ها به طور کامل بر باد شود!) مثال جالبی در این زمینه وجود دارد: «بهترین دفاع حمله است» در بازی شطرنج یک معنی دارد و در بازی فوتبال یک معنی دیگر و لزوما ترجمه پذیر به هم نیستند.

نهایتا با چیزهایی که از ویتگنشتاین آموختم و آن یادآوری از فایرابند که منطق هم نسبی است رفتم سراغ منطق ریاضی به این امید که ببینم شاید منطق نسبی نباشد، اما بود، دست کم به معنی وابسته به زمینه بودنش نسبی بود، منطق ریاضی در ارتباط با ریاضی ساخته شده بود و آشکارا حین خواندنش احساس می‌کردم که قیافه این منطق برای توصیف اوضاع ریاضی ساخته شده نه همه موضوعات. حتی درون خود منطق ریاضی موضوعی جالب توجه وجود دارد: عبارت‌های ریاضی در منطق ریاضی چیزی جز دنباله‌ای از نماد‌ها نیستند، این دنباله از نماد‌ها را باید معنی کرد و معنی کردن این دنباله از نمادها کاملا به مدل وابسته است، مدل در منطق ریاضی تعریفی دقیق دارد و ساختاری ریاضی است که قرار است نمادها را درون آن مدل معنی کنیم، معنی کردن عبارات ریاضی تنها با مدل ممکن است چه برسد به درستی و غلطی آنها بنا بر این حتی در موضوعی دقیق و ساده مثل منطق ریاضی، حتی معنی گزاره‌ها به زمینه‌شان وابسته است چه برسد درستی و غلطی آنها! از اینها گذشته موضوع ضعف منطق مرتبه اول در بیان بعضی مفاهیم و بدرفتار بودن منطق مرتبه دوم و بالاتر (که منطق رسمی ریاضیات است) در کنار وجود منطق‌های متفاوت (مثل منطق شهودگرایی) این ایده را در من تقویت کرد که نهایتا هیچ صورت بندی دقیق و کاملا صوری و مکانیکی و همه پذیر از منطق را نمی‌توان ساخت و هیچ مرز مشخصی بین منطق و ریاضی (منطق و هر چیزی) وجود ندارد، منطق واقعا وابسته به زمینه‌اش است و فقط در کنار مفاهیمی که راجع به آن حرف می‌زند معنی پیدا می‌کند و فقط با مفاهیمش می‌توان از آن استفاده کرد نه به صورت تنها، منطق خالی وجود ندارد و مفید هم نیست و مفاهیم خالی هم وجود ندارد آنها چیزهایی کاملا وابسته به هم هستند. آن منطق بدیهی p آنگاه q هم آنقدر ساده و بدیهی است که اصلا قدرت بیان بسیاری از مفاهیم را ندارد (هر چند رد ضعیفی از زمینه را می‌توان در همان منطق ساده جمله‌ها نیز دید). نکته مهم دیگری که از منطق ریاضی آموختم این است که با توجه به تعریف «درست» درون منطق، نسبی بودن منطق (یا هر چیز دیگری مثل پارادایم) به معنی گاها غلط و گاها درست بودن آن نیست، بلکه بیشتر به معنی وابسته به زمینه بودن آن است.

با توجه به این خطوط استدلال آنچه تا کنون من تحت عنوان «نسبی‌گرایی» به آن باور دارم این است که باید هر چیزی را در زمینه‌اش فهمید، این نسبی گرایی هم خود نسبی است به این معنی که من فعلا در این زمینه فرهنگی و روششناختی و فلسفی که درونش گرفتار هستیم به نسبی‌گرایی متعهدم نه در تمام زمانها و اعصار، به عبارتی چیزهایی مثل «هیچ اثباتی وجود ندارد» یا «هیچ حقیقتی وجود ندارد» را از من نمی‌شنوید چرا که این خود مطلق کردن نسبی‌گرایی است، این همان چیزی است که نسبی‌گرایی اساسا بر نقد آن برخاسته، این همان اشتباهی هم هست که ویتگنشتاین مرتکب می‌شود به این معنی که خصلت بازی‌بودن زبان را به کل زبان تعمیم می‌دهد و با توجه به این که خودش حرفهایش را درون زبان می‌زند اگر زبان بازی باشد اعتبار حرفهایش را در کدام بازی باید فهمید؟ سوال مشابهی هست که اگر تمام شناخت ما پارادایم است خودِ نگاه پارادایمی هم یک پارادایم است، پس اعتبارش چیست؟ من فکر می‌کنم نباید تمام شناخت را پارادایمی فهمید، شناخت زمینه در شناخت پاردایم‌ها مفید است. نسبی‌گرایی که من آن را پذیرفته‌ام قرار است ما را متواضع کند، متواضع نسبت به این حرص و رویای قدیمی که بشر می‌تواند با عقل و روش‌های عقلانی گزاره‌هایی مستقل از زمینه و زمان و مکان بیابد (دست کشیدن از این رویاست که نسبی‌گرایی را ترسناک می‌کند)، البته من منکر وجود چنین گزاره‌ها یا مفاهیمی نیستم ( و بر اساس این نسبی‌گراییِ نسبی نباید هم باشم) اما می‌گویم چنین چیزی دست کم تا کنون و دست کم با روش‌هایی که ما تا الان برای شناخت دنیا ساخته و پرداخته‌ایم به دست نیامده. تمثیل فیل مولانا قیاس مفیدی را فراهم می‌کند: فیلی در اتاقی تاریک قرار دارد و عده‌ای که تا کنون فیل ندیده‌اند رفته‌اند تا ببینند فیل چیست؟ یکی دستش به پای فیل می‌خورد و می‌گوید فیل یک ستون است یکی دستش به گوشش می‌خورد و می‌گوید فیل یک بادبزن است و .... خلاصه هر کس قسمتی از فیل را که لمس کرده فیل را شبیه همان می‌یابد. نسبی‌گرای مطلق همچنان در رویای یافتن گزاره‌ای فرازمانی و فرامکانی می‌گوید که مفهوم مطلقی از فیل وجود ندارد (یک جوری شبیه این که فیل اصلا وجود ندارد) یا در حالت خیلی محتاطانه تر می‌گوید نمی‌توان به هیچ وجه به فیل دسترسی داشت. اما من تا حدی با مولانا همدل هستم که می‌گوید «در کف هرکس اگر شمعی بدی، اختلاف از گفتشان بیرون شدی» گرچه هنوز دقیق نمی‌دانم این «شمع» که قرار است اختلاف را از گفتمان بیرون کند چیست، اما فعلا معتقدم فهم چیزها به همراه فهم زمانه و زمینه آنها ما را به شناخت هر چه دقیق‌تر آنها رهنمون می‌کند، به این معنی شناخت اسلام و زمینه آن به ما کمک می‌کند بدانیم که حکم اسلام در این زمینه و زمانه امروز چگونه است، شناخت علم و زمینه آن به ما کمک می‌کند که روشهای علمی را به مسائل دیگری تعمیم دهیم و .... . نسبی‌گرایی که من از فایرابند آموختم مرا مجاب می‌کند به این که خودم را به هیچ وجه در روش‌های شناخت و تذکارهای فلسفی-منطقی وابسته به زمان و مکان محدود نکنم، نه به پارادایم نه به هیچ چیز دیگر، تنها چیزی که ثابت است این است که هیچ چیز ثابت نیست!

پ.ن0: احساس می‌کنم این بحث زمینه همان چیزی است که به دنبال آن هستم، یعنی این که پارادایم‌ها یا بازی‌های زبانی چطور ساخته می‌شوند، هنوز درست مطمئن نیستم اما احساس می‌کنم خیلی از مشکلاتی که قبلا با نسبی‌گرایی داشتم را حل می‌کند، بازخوانی دانسته‌هایم از فلسفه علم با این توصیف زمینه برایم هیجان‌انگیز بود.

پ.ن1: این صورت بندی از نسبی‌گرایی قبل از ورود به دنیای کواین به نظرم لازم بود. شاید کواین هم به من کمک کند که چطور با این نسبی‌گرایی کنار بیایم. بچه ها در تولد سورپرایزی عظیمی که چند روز پیش برایم گرفتند کتاب «ویتگنشتاین و کواین» را خریدند. باید جالب باشد.

پ.ن2: به نظرم در تفکر شیعه احکام کاملا نسبی و وابسته به زمینه و زمان هستند، نفس وجود فقیه و فقاهت و این که رجوع به فقیه از دنیا رفته صحیح نیست، برای من به همین معنی است.

پ.ن3: یک روش جالبی برای کوبیدن در دعوای علم و دین وجود دارد که علمی‌ها انجام می‌دهند: شما اگر مسیحی هستید یا بودایی یا مسلمان صرفا به این خاطر است که در آن محیط به دنیا آمده‌اید! با ادبیاتی که در بالا شرح دادم به طرز جالبی می‌توان این اعتراض را صورت بندی کرد: دین شما وابسته به زمینه جغرافیایی شماست، بنا بر این غلط است! اما خُب، تمام تلاش من در متن بالا همین بود که نشان دهم تقریبا همه چیز به زمینه وابسته است، بنا بر این اگر وابسته به زمینه بودن ضعف دین است، ضعف علم هم هست، مگر این که کلا قبول کنید ضعف نیست، آن طور که من قبول می‌کنم.

*شاید برای بیشتر آدم‌ها دین یکی از آن امور مقدس باشد اما قبول ندارم که «خدا» برای بیشتر آدم‌ها آن امر مقدس است!! آدم‌ها معمولا برای دین و آیین و روش‌ها و مناسک و رسومات تقدس بیشتری قائل هستند تا برای خدا، چه این که بیشتر آدم‌ها اساسا خدا را نفهمیده‌اند که بخواهد برایشان مقدس باشد یا نباشد، فاجعه صفین هم در واقع به خاطر همین مقدس کردن‌ها واقع شد.

مسئله مونتی‌هال یا دو بز و یک ماشین+کامنت منطق ریاضی!

اگر فیلم 21 را دیده باشید احتمالا این مسئله را هم شنیده‌اید:

در یک مسابقه شما باید از بین سه در یکی را انتخاب کنید، پشت یکی از درها یک ماشین گران‌قیمت قرار دارد و پشت دو در دیگر دو بز قرار داده شده (البته با توجه به قیمت‌های امروزی بُز خودش جایزه‌است :)) ) مجری مسابقه می‌داند پشت هر در چیست. فرض کنید مثلا شما در 1 را انتخاب می‌کنید، مجری برنامه در شماره 3 را باز می‌کند و نشان می‌دهد که پشت در شماره 3 بز بوده، حالا از شما می‌پرسد: آیا حاضرید در 1 را که ابتدا انتخاب کرده بودید با در 2 عوض کنید؟ سوال اصلی این است که آیا احتمال حضور ماشین پشت در 2 بیشتر از 1 است یا نه؟

شهود اولیه ما می‌گوید که بعد از حذف در شماره 3 دو گزینه وجود دارد: یا ماشین پشت در شماره 1 است یا در شماره 2 و احتمال هر کدام مساوی است و پنجاه درصد است بنا بر این قوانین احتمال به شما کمکی نمی‌کند که بدانید ماشین پشت کدام در قرار دارد. اما در واقع جواب مسئله همان طور که استیو اسِلوین اولین بار مطرح کرده این است که احتمال وجود ماشین پشت در شماره 2 دو برابر بیشتر از انتخاب اول شما یعنی در شماره 1 است بنا بر این باید انتخاب‌تان را عوض کنید!

اما چرا؟ جواب مسئله در واقع این گونه است، فرض کنید ماشین از ابتدا پشت در شماره 2 قرار دارد، سه حالت با احتمال مساوی وجود دارد:

1. . شما در 1 را انتخاب می‌کنید و مجری در 3 را پوچ می‌کند (در این حالت باید انتخاب‌تان را عوض کنید)
   
2.  شما در 3 را انتخاب می‌کنید و مجری در 1 را پوچ می‌کند (در این حالت هم باید انتخاب‌تان را عوض کنید)
3.   شما در 2 را انتخاب می‌کنید و مجری در 1 یا 3 را پوچ می‌کند (در این حالت نباید انتخاب‌تان را عوض کنید)
   

می‌بینید که از این سه حالت با احتمال مساوی، فقط یک حالت وجود دارد که در آن نباید انتخابتان را عوض کنید و در دو حالت دیگر باید عوض کنید بنا بر این ماشین به احتمال 66 درصد پشت دری است که انتخاب نکرده‌اید!

اگر همچنان به این جواب مشکوک هستید نگران نباشید، معروف است که حتی ریاضی‌دان برجسته، پل اردوش، هم قبل از این که شبیه‌سازی کامپیوتری را ببیند متقاعد نشد که چنین جوابی صحیح است! اما دقیقا تلاش برای شبیه سازی این مسئله شما را قانع می‌کند که این جواب درست است: فرض کنید می‌خواهید این بازی را شبیه سازی کنید، دو بازی‌کن وجود دارد: یکی مردی است با اعتقاد «حرف مرد یکیه» بنا بر این هرگز انتخاب اول خود را عوض نمی‌کند. دیگری زنی است که به این جواب ایمان آورده و انتخاب خود را همیشه عوض می‌کند. بازی دو قسمت دارد: 1: بازی‌کن دری را انتخاب می‌کند. 2: مجری دری که پوچ بوده را باز می‌کند (همیشه می‌تواند این کار را بکند). سپس مرد انتخابش را عوض نمی‌کند ولی زن عوض می‌کند.

اگر این ادعا صحیح باشد که احتمال هر دو گزینه مساوی است بنا بر این با تکرار بازی به دفعات زیاد تعداد دفعاتی که مرد برنده شده با تعداد دفعاتی که زن برنده شده برابر است، اما این ادعا به وضوح درست نیست: شما همیشه در انتخاب اول یک سوم یا 33 درصد احتمال دارد که ماشین را انتخاب کنید، با توجه به این که مرد حرفش را عوض نمی‌کند (حتی بعد از باز شدن دری دیگر) بنا بر این باز شدن دری دیگر تفاوتی در وضعیت مرد ایجاد نمی‌کند و مرد همیشه به احتمال 33 درصد برنده خواهد شد، اما خانم با توجه به جواب قبلی 66 درصد احتمال برنده شدن دارد.

اما سوال اول هنوز سر جایش است: اشکال استدلال اول که منجر به نتیجه 50 درصد می‌شد دقیقا کجاست؟ شاید بشود گفت ایراد اینجاست که ما مسئله را بعد از پوچ شدن یکی از گزینه‌ها دوباره بازتعریف می‌کنیم و تبدیل می‌کنیم به یک سوال دو گزینه‌ای با احتمال برابر و فراموش می‌کنیم که مجری در هر صورت مجبور است دری را باز کند، اگر شما قبل از انتخابتان از مجری بخواهید دری را باز کند آن وقت حتما احتمال انتخاب شما 50 درصد است اما بعد از این که شما انتخاب می‌کنید مجری مجبور است دری را باز کند که پشت آن ماشین نیست و 66 درصد احتمال دارد که شما دری اشتباه را انتخاب کنید بنابر این 66 درصد مواقع مجری هیچ آزادی برای انتخاب ندارد و باید دری مشخص را پوچ کند که ماشین پشت آن نیست بنا بر این 66 درصد مواقع مجری با زبان بی‌زبانی به شما می‌گوید دری دیگر را انتخاب کنید! اما 33 درصد مواقع هم شما درست انتخاب کرده‌اید و مجری آزادی کاملی دارد که یکی از گزینه‌های پوچ را باز کند. به زبان نظریه احتمال شما نباید احتمال شرطی را این گونه مطرح کنید: «احتمال حضور ماشین بین در 1 و 2 اگر در 3 پوچ باشد» چون در 3 به صورت تصادفی پوچ نشده بلکه بعد از انتخاب شما پوچ شده (یعنی مجری در پوچ کردن آزادی ندارد و انتخاب شما در این که کدام در را پوچ کند نقش بازی می‌کند، بنا بر این احتمال حذف شده توسط مجری به طور یکسان بین انتخاب شما و انتخاب دیگر پخش نمی‌شود چون شما با انتخاب اول خود تقارن گزینه‌ها را به هم زده‌اید)

واقعیت این است که از یک دیدگاه این مسئله شبیه پارادکس آشیل و لاکپشت است! در این مورد هم به سختی می‌توان گفت اشتباه استدلال کجاست، این نکته است که نشان می‌دهد استدلال‌های صرفا منطقی وقتی شهود کافی روی مسئله وجود ندارد و زبان مناسبی برای توصیف مسئله انتخاب نشده می‌توانند گمراه کننده باشند. این وضعیت در منطق ریاضی نظیر جالبی دارد: بسته به زبان توصیفی شما، می‌توانید چیزهای یکسانی را متفاوت ببینید: برای مثال در فرازبانی که اثبات‌های منطق ریاضی انجام می‌شود، نظریه مجموعه‌ها مدل شمارا دارد در حالی که درون زبان نظریه مجموعه‌ها، اثبات می‌شود که مجموعه ناشمارا حتما وجود دارد: به عبارتی اعداد اصلی یا کاردینال (شمارایی یا ناشمارایی) مفاهیمی هستند که می‌توانند با تغییر زبان عوض شوند: یک مجموعه با یک زبان شمارا و در زبانی دیگر ناشماراست! یا حتی نظریه اعداد طبیعی در یک زبان کامل است به هر سوالی پاسخ می‌دهد و در زبانی دیگر ناتمام است و گزاره‌های درست تصمیم‌ناپذیر یا اثبات ناپذیر دارد.

اَکنالجمِنت: ویت اِسپشیال تَنکث تو سارا که جواب این مسئله مونتی هال را وقتی خودم درست فهمیدم که تلاش کردم برای سارا توضیح بدهم.

پ.ن منطق ریاضی: شاید بگویید ربط این موضوع به منطق ریاضی زوری بود و ربطی نداشت: در این مسئله ما پیشفرض پنهانی داشتیم و اما موضوع زبان در منطق ریاضی این طور بیشتر مربوط به نمادهایی که انتخاب می‌کنیم است، واقعیت این است که کمی راست می‌گویید اما در واقع تفاوت زبان‌ها خیلی اوقات در همین پیشفرضهای پنهان است.

پ.ن اینستاگرام: آیا این‌ها را استوری کنم؟ چرا که نه؟ چرا که بله؟ دفعه پیش یک مجموعه استوری رفتم راجع به اساطیر هفته که دروغ چرا، از واکنش مثبت ملت خوشم آمد! حالا هم از خوشی آن واکنش قبلی دارم فکر می‌کنم که استوری کنم یا نه، قطعا می‌توانم بهانه جور کنم که بله ملت آگاهی‌شان بالا می‌رود و چه و چه اما به نظر می‌رسد ته دلم اثر همان خوشی قبلی است که وادارم می‌کند اینها را استوری کنم. چند وقت پیش توی اینتساگرام بحث این را راه انداختم که هویت ما با نیمچه شوآف‌هایی که در اینستاگرام می‌کنیم شکل می‌گیرد و آن موضوع در ذهنم ریشه دواند که حواسم باشد چطور هویت خودم را شکل می‌دهم.

منطق ریاضی 6 : نظریه مدل

پیش نویس: اگر به فلسفه ریاضی علاقه مند باشید ممکن است پاراگراف اول برایتان جالب باشد.

نظریه مدل هیجان‌انگیز تر از چیزی بود که فکر می‌کردم، اصلا فلسفه کل منطق ریاضی را در این نظریه مدل فهمیدم، نظریه مدل در واقع قلب تپنده و اصل دلیل روی آوردن آدم‌ها به سمت منطق مرتبه اول یا منطق ریاضی است: ریاضی در واقع چیزی جز مدل‌ها نیست، مثلا ما از روی دنیا یک مدل از اعداد طبیعی می‌سازیم که در آن یک لیست از اعداد طبیعی داریم (0 و 1 و ...) و توابع تالی، جمع، ضرب و ترتیب معنی دارند و تعریف می‌شوند، حالا شما می‌توانید هر سوالی را راجع به مدل بپرسید، مثلا می‌توانید این سوال را بپرسید که «آیا همه اعدادی که جمع ارقام آن در مبنای 10 بر 3 بخش پذیر باشد، بر 3 بخش‌پذیر است؟» شما علی‌الاصول با نگاه کردن به مدل می‌توانید به این سوال پاسخ دهید، اما با توجه به نامتناهی بودن مدل، در بهترین حالت با کامپیوترهای امروزی هم شما نمی‌توانید حتی بخش قابل توجهی از این مدل را چک کنید (چون مدل نامتناهی است شما همیشه فقط صفر درصد مدل را چک کرده اید :))) ) پس این روش خوبی برای بررسی درستی این جمله‌ها نیست، اینجاست که نقش استنتاج به میان می‌آید: خاصیت‌های مشخص از اعداد طبیعی را انتزاع یا تجرید کنید که همه اعداد طبیعی در آن مشترک باشند (این همان اصول موضوع است)، تعدادی قواعد استنتاج تهیه کنید (این قسمت منطقی ماجرا است) بعد سعی کنید با این خاصیت‌ها و قواعد استنتاج نشان دهید که همه اعداد یک خاصیت مشخص دیگر را دارند. اما دو سوال بسیار مهم وجود دارد: 1. آیا هر استنتاجی را که انجام دهم، نتیجه‌اش لزوما در مدل هم برقرار است؟ این همان قضیه درستی است و جوابِ آن مثبت است (با قرارداد کردن قواعد استنتاج و تعریف درستی از روی آنها این قضیه چندان عجیب نیست، در واقع قواعد منطق اصولا چیزی جز همان‌گویی نیست) 2. آیا هر چیز درستی را می‌توان استنتاج کرد؟ (در پرسیدن این سوال باید مواظب بود، منظور این است که هر «همیشه درست» یا «همان‌گو» را می‌توان استنتاج کرد، بالاخره شما برای استنتاج‌های روی مدل به اصول موضوعه نیاز دارید، اما نکته جالب اینجاست که هر استنتاجی از اصول موضوعه با استنتاج یک همانگو معادل است) این هم قضیه تمامیت است و دیدیم که پاسخ آن به طرز عجیبی مثبت است. با داشتن قضیه درستی و تمامیت باید تصور کنیم که منطق مرتبه اول به علاوه انتخاب اصول موضوع مناسب برای بررسی کل ریاضیات کافی است، (هر استنتاجی درست است و هر درستی استنتاج پذیر، پس همه چیز تمام است! کل ریاضی میشود منطق مرتبه اول به علاوه اصول موضوعه) نظریه مدل بررسی همین ایده است اما در حین همین بررسی متوجه خواهیم شد که اوضاع پیچیده‌تر از چیزی است که تصور می‌کنیم. سوالی که می‌توان پرسید این است که آیا نظریه‌هایی که بر مبنای خواصی مشخص از یک مدل (اصول موضوعی مشخص) تهیه می‌شوند، اگر صرفا از روی نظریه بخواهیم مدل را بازسازی کنیم باز به همان مدل اولی که خواص را از آن گرفته بودیم میرسیم؟ به عبارتی نظریه‌ها مدل‌ها را یکتا تعیین می‌کنند یا به دیگر بیان آیا ما تمام خواص مدل را می‌توانیم در منطق مرتبه اول بیان کنیم؟ این سوال مهمی است که عمده جذابیت نظریه مدل برای من بود. مهمترین اتفاقی که در نظریه مدل می‌افتد این است که اولا خواهیم دید بعضی مفاهیم مهم مثل متناهی بودن مدل‌ها وجود دارد که منطق مرتبه اول از بیان آن عاجز است، ثانیا نه تنها مدل (مخصوصا مدل‌های نامتناهی) ابدا به صورت یکتا توسط  اصول موضوعه‌شان تعیین نمی‌شوند (قضایای اندازه مدل لوون هایم اسکولم) بلکه قضایای ناتمامیت وجود دارد: به عبارتی هر لیستی از خواص مثلا اعداد طبیعی تهیه کنیم (یعنی اصول موضوعه) باز خاصیتی هست که نمی‌توانیم با خواص قبلی راجع به آن اظهار نظر کنیم، یا جمله‌ای هست که نه می‌توان آن را اثبات کرد نه نقیضش را به دست آورد. حال برویم سراغ نظریه مدل، یک بار از کتاب اردشیر خواندم حالا دوباره از کتاب اندرتون می‌خوانم و می‌نویسم:

مهمترین ابزار نظریه مدل قضیه لون‌هایم-اسکولم است به علاوه قضیه فشردگی. قضیه لوون هایم اسکولم می‌گوید اگر مجموعه‌ای از جمله‌ها یک مدل نامتناهی داشته باشند آنگاه می‌توان مدل‌هایی به اندازه دلخواه بزرگ (منظور کاردینال مدل‌هاست) داشت و همچنین مدل‌های به اندازه دلخواه کوچک، ولی نه کوچکتر از اندازه زبان، منظور از اندازه زبان کاردینال همه جمله‌ها و عباراتی است که می‌توان در زبان نوشت (زبانی با نمادهای محدود کاردینال شمارا دارد). نکته اعجاب انگیز این قضیه تنازع اسکولم است: زبان نظریه مجموعه‌ها تنها یک رابطه دو موضعی دارد (عضویت) بنا بر این شمارا است، بنا بر قضیه لون‌هایم-اسکولم این نظریه دست کم یک مدل شمارا دارد، اما شما می‌توانید درون نظریه مجموعه‌ها نشان دهید که مجموعه‌ی نا شمارا وجود دارد و چون هر کدام از اعضای این مجموعه نا شمارا درون جهانِ مدل هم هست پس کل مدل هم نا شمارا است! اما تناقضی در کار نیست، ما از بیرون نظریه مجموعه‌ها را به واسطه زبانِ مرتبه اول شمارا نگاه می‌کنیم بنا بر این تعداد شمارا عضو برای ما مهم است، در حالی که آن مجموعه ناشمارای درون مدل صرفا یعنی که درون مدل جمله «وجود دارد تابع f که مجموعه A را می‌شمارد» صحیح نیست (مجموعه A همان مجموعه ناشمارا است) در حالی که ما از بیرون و در فرازبانی که اثباتهای منطق مرتبه اول را در آن ارائه می‌کنیم می‌توانیم علی‌الاصول چنین تابعی داشته باشیم. یکی دیگر از جذابیت‌های این قضیه وجود مدل شمارا برای اعداد حقیقی ناشمارا است! باز هم داستان به این برمی‌گردد که همه اعداد تعریف‌پذیر حقیقی شمارا هستند (در حالی که تعداد ناشمارا اعداد تعریف‌ناپذیر وجود دارد). (این تنازع از نظر من در وهله اول به این برمی‌گردد که در ساخت منطق مرتبه اول از نظریه مجموعه‌هایی استفاده می‌کنیم که قرار است با خود منطق مرتبه اول در باره‌اش حرف بزنیم، و خُب این واضحا دور دارد و همان طور که دیدیم موجب اتفاقات مسخره‌ای مثل همین تنازع می‌شود). این تنازع صرفا یک شروع هیجان انگیز است، اما صبر کنید.

معمول است که مدل‌ها را رده بندی کنیم، مثلا رده مدل‌های تک عضوی، رده مدل‌های نامتناهی، رده مدل‌های متناهی رده مدل‌هایی که جمله‌ای مشخص در آن مدلها صادق است و .... دقت کنید این رده‌ها مجموعه نیستند، (به عبارتی بزرگتر از آنند که مجموعه باشند، مثلا همه گروه‌های صادق در اصول موضوع نظریه گروه‌ها، رده گروه‌ها را تشکیل می‌دهند اما نمی‌توان از این رده مجموعه‌ی همه گروه‌ها را ساخت، اصول موضوع نظریه مجموعه‌ها چنین اجازه‌ای نمی‌دهد) در این میان دو رده مهم وجود دارد: رده مدل‌های اصل پذیر: اگر برای رده‌ای از مدل‌ها، مجموعه‌ای سازگار از جمله‌ها وجود داشته باشد که در تمام آن مدل‌ها صادق باشد، آنگاه آن رده را رده مدل‌های اصل پذیر گوییم. اگر تعداد این جمله‌ها متناهی باشد آنگاه آن رده از مدل‌ها را اصل‌پذیر متناهی گوییم. بنا بر این رده گروه‌ها یک رده اصل‌پذیر متناهی است (یعنی تعدادی متناهی اصل موضوعه دارد)

حال با این تعریف می‌توان سوالاتی جالب پرسید: آیا رده مدل‌های متناهی اصل پذیر است؟ چرا این سوال جالب است؟ اگر پاسخ به این سوال منفی باشد یعنی در منطق مرتبه اول نمی‌توان «متناهی بودن مدل» را بیان کرد. برای مدل‌های خاصی از اعداد شاید بشود اما در کل برای همه مدل‌ها مفهوم متناهی بودن مفهوم مرتبه اول نیست چون جمله‌ای مثل A وجود ندارد که مضمون آن «این مدل متناهی است» باشد و در تمام مدل‌های متناهی صدق کند. در کمال تعجب واقعا پاسخ به این سوال منفی است! به کمک قضیه فشردگی می‌توان اثبات کرد اگر مجموعه‌ای از جمله‌ها مدل‌های متناهی اما به دلخواه بزرگ داشته باشد آنگاه یک مدل بی‌نهایت هم دارد، در نتیجه متناهی بودن مفهوم مرتبه اول نیست. همین طور می‌توان نشان داد خوش‌ترتیبی نیز چنین است.

اما جذابیت اصلی همان طور که گفتم وقتی است که پای نظریه به میان می‌آید: نظریه یعنی مجموعه‌ای از جمله‌ها که تحت استنتاج بسته باشند (یا با توجه به قضایای درستی و تمامیت که میگوید استنتاج و استلزام منطقی با هم معادل هستند: نظریه یعنی مجموعه‌ای از جمله‌ها که تحت استلزام منطقی بسته باشند). به خصوص نظریه‌هایی جالب هستند که تمام باشند: نظریه تمام یا کامل یعنی برای هر جمله منطقی، یا آن جمله را نتیجه می‌دهد و یا نقیض آن را (به عبارتی پاسخ همه سوالات را به صورت بله یا خیر می‌دهد و هیچ سوال بی‌جوابی ندارد، نظریه سازگار ماکسیمالی که در اثبات قضیه تمامیت سر و کله‌شان پیدا می‌شود نظریه‌هایی کامل هستند). نظریه به دو طریق ساخته می‌شود، یا از مدل‌ها و یا از جمله‌ها: یک رده مشخص از مدل‌ها را در نظر بگیرید: مجموعه همه جملات صادق در این رده از مدل‌ها یک نظریه است* (مثلا مجموعه همه جمله‌هایی که در همه گروه‌ها صادق است نظریه گروه‌ها را تشکیل می‌دهد). از طرفی مجموعه‌ای از جمله‌ها را در نظر بگیرید: مجموعه‌ی همه استنتاج‌ها از این مجموعه جمله‌ها هم یک نظریه است (برای مثال مجموعه همه جمله‌هایی که از اصول موضوع گروه به دست می‌آید نظریه گروه‌ها است). اما این دو توصیف بی ارتباط به هم نیستند: فرض کنید Mod(A) یعنی رده همه مدل‌هایی که جمله A در آنها صادق است، آنگاه نظریه این رده معادل نظریه‌ای است که از مجموعه همه استنتاج‌های منطقی از A به دست خواهد داد (به عبارتی نظریه گروه‌هایی که از مدل گروه‌ها به دست می‌آید همان نظریه گروه‌هایی است که از استنتاج اصول موضوع گروه به دست می‌آید، به خصوص قضیه درستی و تمامیت این را تضمین می‌کنند چون استلزام منطقی معادل استلزام معناشناختی است).

حالا برگردیم سراغ این سوال که چه نظریه‌ای تمام است؟ نظریه‌ای که تنها از یک مدل به دست آید تمام است (اما لزوما تصمیم پذیر نیست، این مسئله‌ای جدا است)! این واضح است چرا که مدل چیز نامشخصی ندارد، هر گزاره‌ای که مدل آن را برقرار نکند آنگاه نقیض آن را برقرار می‌کند بنابراین اگر مدل را در دست داشته باشیم آنگاه پاسخ همه سوالات را می‌دانیم(باز هم تاکید می‌کنم ممکن است نظریه‌ای که از یک مدل به دست می‌آید ممکن است با وجود تمام بودن، همچنان تصمیم پذیر نباشد، همان طور که منطق گزاره‌ها تمام است اما تصمیم پذیر نیست) (به خاطر همین کامل بودن نظریه‌ای که از مدل خاص به دست می‌آید، برای اثبات قضیه تمامیت سراغ نظریه‌های سازگار ماکسیمال می‌رویم، چون آنها تمام هستند و مدل را تقریبا یکتا تعیین می‌کند، در غیر این صورت آزادی گیج کننده‌ای برای تعیین مدل داشتیم) . این سر نخی به دست می‌دهد که برای تمام بودن نظریه‌ها کجا را باید جست و جو کنیم، فرض کنید مجموعه‌ای از جملات یک نظریه بسازند، این نظریه وقتی تمام خواهد بود که رده همه مدل‌های به دست آمده از آن جملات، مدل‌هایی باشند که به تمام سوالات پاسخ یکسان می‌دهند، اگر دو مدل وجود داشته باشد که به هر سوالی پاسخ مشابه بدهند آنگاه آن دو مدل اصطلاحا معادل مقدماتی هستند و این یعنی نظریه‌ای تمام است که همه مدل‌های آن معادل مقدماتی باشند. البته این را با رابطه یکریخیتی دو مدل اشتباه نگیرید، یکریخیتی بسیار خاص است و معادل مقدماتی بودن دو مدل از یک ریختی نتیجه می‌شود ولی برعکس نه. با این اوصاف اگر همه مدل‌های یک نظریه یکریخت باشند آنگاه نظریه حتما تمام است (به عبارتی چیز نامعلومی از مدل وجود ندارد) اما این رابطه زیادی قوی است و عملا فقط وقتی کار می‌کند که مدل متناهی باشد چرا که قضیه لوون‌هایم اسکولم تضمین کرده که نظریه‌هایی که مدل‌های نامتناهی دارند، می‌توان کاردینال‌های به دلخواه بزرگ داشته باشند که یعنی هر نظریه‌ای با مدل نامتناهی قطعا مدل‌های غیر یکریخت دارد! (در واقع یکریخت بودن مدل‌های یک نظریه خواسته زیادی است، مدل‌ها یا ساختارهای یکریخت عملا "یکسان" هستند، یعنی هر جمله‌ای با هر مرتبه‌ای یا در تمام ساختارهای یکریخت صحیح است یا صحیح نیست، ساختارها یا مدل‌های یک ریخت در واقع واقعا هیچ تفاوتی با هم ندارند)

پس باید برای تمام بودن دنبال شرط ضعیف‌تری بود. شرط ضعیف‌تری که مطرح می‌شود این است: k-جازم بودن، این یعنی همه مدل‌های نظریه با کاردینال k یک ریخت هستند. حال قضیه‌ای هست که می‌گوید اگر نظریه‌ای همه مدل‌هایش نامتناهی باشد و حداقل به ازای یک کاردینال k، k-جازم باشد آن گاه آن نظریه حتما تمام است. البته عکس قضیه صحیح نیست. یکی از نتایج شگفت‌انگیز قضیه اینجاست که نظریه میدان‌های بسته جبری ناشمارا با مشخصه صفر تمام است (در نتیجه نظریه میدان مختلط تمام است).

بقیه‌اش بماند برای بعد، الان حال ندارم زیادی نوشتم.

*این نکته‌ای جالب است، شاید دو مدل را تصور کنیم و بگوییم دو گزاره چون A و B اگر در هر دو برقرار باشد باید همه استنتاج‌هایی که از A وB به دست می‌آید هم در هر دو برقرار باشد، اما مدل واقعا تضمین کرده که این چنین باشد؟ شاید مدل جوری پیچیده باشد که یکی از نتایج منطقی A و B در هر دو صادق نباشد بنابراین مجموعه‌ی این جمله‌ها نظریه نیست، اما در واقع مدل‌ها از قوانین منطق پیروی می‌کنند، یا بهتر بگوییم، قوانین منطق یک کپی ماشینی از قوانین مدل‌ها هستند، یک جورهایی ما هم مدل‌ها را مطابق قوانین منطق ساخته‌ایم هم قوانین منطق را از روی مدل‌ها برداشته‌ایم و همین است که قضیه درستی را برقرار میکند. در واقع فرق عمیقی بین مدل‌های ما و قوانین منطق وجود ندارد، منطق یعنی قوانین مدل، مدل یعنی حاصل از قوانین منطق! هر دو یک جورهایی معادل هستند. مخصوصا منطق خاص مدل‌ها این خاصیت را به خوبی دارد، منطق همان‌گویی است، در نتیجه اگر برقرار نباشد (قضیه درستی صحیح نباشد) آنگاه اصلا معنی گزاره‌ها یعنی چه؟ معنی گزاره‌های غیر اتمی اساسا از قوانین منطق سرچشمه می‌گیرد (معنی گزاره‌های اتمی از مدل سرچشمه می‌گیرد)

پ.ن تصمیم ناپذیری: با وجود قضیه تمامیت منطق مرتبه اول، تصمیم‌ناپذیری آن واقعا عجیب است (همچنان تاکید می‌کنم تصمیم پذیر بودن با کامل یا تمام بودن فرق دارد) اما بیاید ادعای قضیه تمامیت را یک بار دقیق چک کنیم. اگر هر مدلی که A را برقرار کند B را برقرار کند، آنگاه از A استنتاجی برای B وجود دارد. این ادعا را جوری دیگر بیان می‌کنند: اگر نتیجه معناشناسانه مجموعه‌ای از جمله‌ها تناقض باشد (یعنی هیچ مدلی آن مجموعه جمله‌ها را نتواند برقرار کند) آنگاه می‌توان تناقض را از آن مجموعه استنتاج کرد. برای اثبات قضیه عکس نقیض این ادعا را بررسی می‌کنند که با خود ادعا معادل است: اگر مجموعه‌ای از جمله‌ها سازگار باشد (نتوان از آن تناقض را استنتاج کرد) آنگاه آن مجموعه جمله‌ها مدل دارد، نحوه اثبات هم این گونه است که مدل را می‌سازند. حال برگردیم به تصمیم ناپذیری: یعنی نمی‌توان طی یک فرایند شمارش پذیر کارآمد تعیین کرد که یک گزاره همان‌گو است یا خیر، (اما ادعای قضیه هنوز این است که همان‌گوها را می‌توان به دست آورد) احتمال می‌دهم قصه از مقدم قضیه تمامیت شروع می‌شود: در یکی از صورت‌ها مقدم برابر است با «هر مدلی مجموعه G را برقرار کند، گزاره A را هم برقرار می‌کند» در دیگر صورت‌ها مقدم قضیه برابر است با «مجموعه جمله‌های G سازگار است» یعنی نمی توان از آن تناقض را نتیجه گرفت، واقعیت این است که در هر دوی این صورت‌ها چک کردن صحت مقدم شرط غیر ممکن است! چه بحث سازگاری آن چه بحث چک کردن تمام مدلها عملا غیر ممکن است بنا بر این تعجبی ندارد که با وجود تمامیت منطق مرتبه اول، این منطق تصمیم پذیر نیست، یا لااقل من این طور فکر می‌کنم.

پ.ن ناتمامیت: وجود قضیه ناتمامیت منافاتی با وجود قضیه تمامیت ندارد، تمامیت در واقع تمامیت منطق مرتبه اول است ناتمامیت در واقع ناتمام بودن رده‌ای از نظریه‌های اصول موضوعی است، این‌ها اساسا دو چیز متفاوت هستند.

Pas si simple

من هیچ‌وقت با فیلم مختارنامه دلم صاف نشد، نه به خاطر سطح مسخره دیالوگ‌ها در مقایسه با سریال امام علی، نه به خاطر صحنه‌های جنگی شبیه جومونگ، بلکه به خاطر شخصیت پردازی بی‌نهایت ساده‌لوحانه و احمقانه! از هفت فرسخی مشخص بود که عمر سعد شخصیت منفی داستان است، سیاه و شرور و بی‌خود! در مقابل، مختار سفید و روشن، گاهی ممکن است اشتباهی بکند (هر ده قسمت یک بار! آن هم اشتباهی بسیار کوچک) اما در مجموع قهرمان سفیدِ داستان است.

با پدرم که حرف می‌زدم چرا مختارنامه با همان کارگردان نسبت به سریال امام علی شخصیت پردازی بسیار ضعیف و غیرواقعی دارد، ایده اش این بود که سریال امام علی به خاطر حساسیت موضوع به مراتب از لحاظ تاریخی دقیق‌تر بود، اما مختارنامه (حتی کتاب و منابع تاریخی‌اش) به خاطر ماهیت قصه بیشتر قهرمان پروری درون خودش دارد.

با این همه از جامعه مذهبی اطرافم که می‌پرسیدم تقریبا همه از سریال مختار نامه بیشتر لذت برده بودند تا امام علی! شاید بخشی از این اقبال به خاطر ربط مختارنامه به ماجرای کربلا باشد که جامعه مذهبی به مراتب با امام حسین بیشتر ارتباط عاطفی برقرار می‌کنند تا امام علی، شاید بخشی از این اقبال به خاطر ماجرای احساسی‌تر سریال مختارنامه باشد در مقابل سریال امام علی که بیشتر سیاسی است، اما من احساس می‌کنم بخش مهمی از این اقبال به خاطر این هم هست که آدمها حوصله قضاوت شخصیت‌های واقعی را ندارند. قضاوت شخصیت‌های مختارنامه بسیار راحت است، آنها پیچیده و عمیق نیستند، دو دسته بزرگ وجود دارد: خوب‌ها و بدها. و شما به راحتی با دقت در حتی فقط نحوه حرف زدن (مستقل از محتوی کلام) یا حتی در موارد فقط از روی قیافه کاراکتر متوجه می‌شوید که با کدام دسته طرف هستید! تحلیل شخصیت‌ها و اعمال‌شان ساده است و قضاوت آنها بی‌نهایت آسان: آدم‌های خوب چون خوب هستند کارهای خوب می‌کنند، شرورها هم به خاطر ذات بد خودشان شرارت می‌کنند، تمام! مخصوصا وقتی شما نسبت به ماجرا احساساتی باشید ابدا حوصله تحلیل رفتار پیچیده آدمها را ندارید و خیلی راحت است که شخصیت پردازی این چنین باشد تا شما به مغزتان فشار نیاید تا آدمها را تحلیل کنید. اما واقعیت تاریخی همیشه خاکستری و حوصله سر بر است و تحلیل آن با کلیشه «خوب» و «بد» گیج‌کننده: عمر سعد حتی در روز عاشورا حرفهایی می‌زند و کارهایی می‌کند که آدم واقعا تردید می‌کند تا عمر سعد را «شرور مطلق» ببیند (باقی زندگی عمر سعد که واقعا حیرت انگیز است، پدرش جزو اولین کسانی است که در سخت ترین شرایط مسلمان شده ، خودش هم آن قدر برای جامعه اطرافش مورد اعتماد بود که بخشی از سپاه مقابل امام حسین به خاطر اعتبار اخلاقی و دینی عمر سعد راهی میدان شدند!)

القصه قصد من از طرح این مسئله نه فحش دادن به سریال مختارنامه یا ستایش سریال امام علی* که فحش دادن به این گرایش آدم‌ها به قضاوت ساده و دو ارزشی است. آدم‌ها حوصله قضاوت واقعی را ندارند، برای قضاوت واقعی همیشه لازم است به جزئیات بسیار زیاد بپردازید و تقریبا در همه موارد شما هر چه قدر راجع به شخصیت‌های تاریخی بیشتر و دقیق‌تر و پر جزئیات‌تر می‌خوانید کمتر و کمتر جرات استفاده از کلیشه سنتی «فرشته» و «شرور» یا «قهرمان» و «دشمن» را خواهید داشت: امیرکبیر، اسکندر، فتحعلی شاه، عباس میرزا، آقا محمدخان، رضا شاه، فروغی، مصدق، کاشانی، امام خمینی، محمدرضا شاه، رفسنجانی، روحانی، احمدی‌نژاد و.... اگر به هر کدام از این‌ها برچسب کلیشه‌ای «فرشته» یا «شیطان» (یا هر چیز مشابه مثل «قهرمان» یا «خائن») می‌زنید نشانه آن است که آن شخص را درست و پر جزئیات نمی‌شناسید، کتابی در باره‌اش نخوانده‌اید یا دقیق زندگی‌اش را مطالعه نکرده‌اید. وگرنه قضاوت هیچ وقت ساده نیست. هر کدام از این شخصیت‌ها در مقاطعی کارهایی کرده‌اند که اگر بخواهید با همان مدل «فرشته» و «شیطان» زندگی‌شان را تحلیل کنید به مشکل جدی برخورد خواهید کرد.

واقعیت این است که گرایش ما آدم‌ها برای این تحلیل ساده و دو ارزشی کاملا ذاتی است و دلیلی عمیق دارد، این گرایش ما در وهله اول وابسته به نحوه تعامل ما با جهان است: ما جهان را نه به صورتِ خودِ جهان بلکه از طریق مدل‌هایی می‌بینیم که برای تحلیل جهان یا ساخته و پرداخته‌ایم و یا به صورت ذاتی طی فرایند تکامل در ما نهادینه شده (این عمیق‌ترین و مهمترین چیزی است که من از فلسفه علم آموخته‌ام اما واقعا دلایلش محدود به فلسفه علم نیست و اثراتش هم محدود به حوزه علم نیست، برای مثال به کتاب روان شناسی تحلیل اطلاعات رجوع کنید که مامور سیا نوشته برای تحلیل‌گران سازمان و همین دیدگاه را تبیین می‌کند، برای من دست کم چند سال طول کشید تا عمق این تصویر را بفهمم) مدل‌ها هر چه ساده‌تر باشند استفاده از آنها راحتتر است بنا بر این همه گیرتر هستند و خُب، ساده ترین مدل برای تحلیل آدم‌ها مدل «خوب» و «بد» است. اما حقیقتا چطور قرار است اِن میلیارد انسان را بتوانیم این گونه دسته‌بندی کنیم؟ مدل‌های بهتری هم هست مثل مدل 16 شخصیتی MBTI ولی این‌ها هم نواقص خودشان را دارند. در هر صورت مدل کردن آدم‌ها به صورت «خوب» و «بد» گرچه کاملا طبیعی است و گرچه از نظر تحلیلی بسیار به صرفه است اما ابدا نسبتی با واقعیت پیچیده ما آدم‌ها ندارد. تنها خداست که می‌تواند راجع به ما آدم‌ها «به درستی» قضاوت کند.** این نحوه مدل کردن آدم‌ها نه تنها باعث می‌شود که شما اشتباه قضاوت کنید بلکه حتی به لحاظ اخلاقی و دینی هم مخرب است، شما اگر عمر سعد را شروری مطلق در نظر بگیرید هرگز این احتمال را نخواهید داد که روزی شما همان فاجعه را تکرار کنید، چون خودتان را خیلی دور از او می‌بینید. اما اگر او را انسانی پیچیده با ویژگی‌های مثبت زیادی درونش در نظر بگیرید، آن موقع اصلا دور به نظر نمی‌رسد که شما هم فرماندهی سپاهی علیه حقیقت را به عهده بگیرید، ترسناک است نه؟ اما واقعیت است!

*سریال امام علی هم آنچنان خاکستری خاکستری هم نبود، اما به نظرم خیلی بهتر از مختار نامه بود، برای مثال شما تا لحظه آخر دوست ندارید بگوید طلحه آدم خوبی نبوده، یا خیلی جاها با زبیر همدلی می‌کنید، معاویه را شاید درک کنید و عمرو عاص آن شیطان یو ها ها نیست، مالک اشتر گاهی اشتباه می‌کند و جندب ازدی باید به خاطر کشتن کسی در مسجد کفاره بدهد، عمار در زمان عثمان سکوتی اختیار کرده که مالک اشتر با آن مخالف است و....

**البته من جز آدم‌هایی هستم که اعتقاد دارم این اعتراض آدم‌ها که «همدیگر را قضاوت نکنیم» از آن دسته اعتراض‌های بی‌خود است که وقتی آن را می‌شنوم اولین چیزی که به ذهنم می‌رسد این است که طرف یک گندی زده و یک جوری می‌خواهد آن را ماست مالی کند، بله منم موافقم آدم‌ها را نباید به سادگی قضاوت کرد اما اصلا قضاوت نکردن با ساده قضاوت نکردن فرق دارد، اتفاقا نکته نوشته هم این است که شخصیت‌های تاریخی را ساده قضاوت نکنیم، چون ساده نیستند و بی‌نهایت پیچیده‌اند.

پ.ن عنوان: عنوان به فرانسوی یعنی «آنقدرها هم ساده نیست»، نام آهنگی زیبا از yann tiersen است که خیلی دوست دارم. البته که من فرانسوی بلد نیستم.

پ.ن قلعه حیوانات: در رمان قلعه حیوانات جایی هست که می‌خواهند شعارهای انقلاب را به گوسفندان بیاموزند، گوسفندان به دلیل خنگی شعارها را نمی‌فهمند و نهایتا شعار به یک قضاوت دو ارزشی ساده ختم می‌شود: چهار پا خوب، دو پا بد. این مدل به دلیل سادگی به سرعت فراگیر می‌شود، این بلایی است که سر مذهب هم آمده متاسفانه.

پ.ن کلیشه: این که کلیشه‌های ما برای آدم‌ها همان مدل ما از آنها یا همان پارادایم‌ها در فلسفه علم است را من از سارا آموخته‌ام، کلیشه بد نیست، لازم است و تنها راه ما برای درک جهان است، اما نباید زیادی از آن استفاده کرد، باید محدودیت‌های کلیشه را شناخت و تمرین کرد که از آنها دوری کنیم، در عین حال از قدرت تحلیل آن استفاده کنیم.

پ.ن علم: در واقع من این نوشته را نوشتم که مقدمه‌ای باشد برای چیزی که در ذهن دارم: نقد قضاوت‌های ساده دو ارزشی در علم: نسبیت عام اثبات شده، تکامل اثبات شده، مکانیک نیوتونی ابطال شده و.... در علم هم قضاوت هرگز ساده نیست، برای مثال، در مورد قضاوت این که ماده تاریک در کیهان وجود دارد یا خیر شما مجموعه عظیم و پرجزئیاتی از شواهد اغلب متناقض دارید که بعضی ها از وجود ماده تاریک حمایت می‌کنند و بعضی‌ها ناسازگار هستند و با کنار هم قرار دادن آن‌ها باید به نتیجه برسید، اما آدمها دوست دارند قضاوت دو ارزشی داشته باشند: بله یا خیر! شاید جایی دوست داشته باشم با جماعتی حرف بزنم و با مثال‌های زیادی به آنها نشان بدهم قضاوت‌ها در علم هرگز ساده نیست، شاید نه به پیچیدگی قضاوت انسان‌ها اما به سادگی جواب «بله» یا «خیر» نیست. برنامه‌ای که در نظر دارم چیزی شبیه آن برنامه سیاه چاله است که در شهر کتاب دانشگاه داشتیم. نمی‌دانم تا چه پیش آید. اتفاقا این مقدمه یک نتیجه بسیار خوب دارد: ما آدم‌ها با وجود این که آدم هستیم و خودمان پیچیدگی خودمان را می‌بینیم باز هم گرایش به قضاوت دو ارزشی داریم، فیزیک دانان هم شاید خودشان درون فیزیک باشند اما می‌توانند مدل احمقانه و ساده‌ای از ربط مشاهده و نظریه داشته باشند، ولو این که خودشان هر روز با آن کار می‌کنند.

پ.ن هلال: در مورد این رویت هلال عید فطر هم من مطلبی نوشته بودم که خلاصه اش این بود: هیچ تئوری توطئه‌ای در کار نیست، عربستان با معیار خودش 14 خرداد را عید فطر اعلام کرده و درست است و ایران با معیار خودش 15 خرداد را اعلام کرده و آن هم درست است. با این همه جمعی از آدمهای عصبانی زیر آن مطلب ریخته بودند که آقا کار کارخودشان است و شما ماست مالی نکنید و می‌خواستند ارتحال و عید با هم نباشد و چه و چه! دقیقا دلیل چنین عصبانیتی قضاوت دو ارزشی بود: جمهوری اسلامی در هر صورت شرور است بنا بر این حتما اشتباه می‌کند! پس مطلب من ماست مالی است.

پ.ن منطق ریاضی: باید منطق ریاضی را تعطیل کنم تا به بقیه کارهایم برسم اما نامرد جذاب‌تر از همیشه شده است. نظریه مدل‌ها عالی است تازه رسیده‌ام به هسته مرکزی و دلیل اصلی رفتن آدم‌ها سراغ منطق مرتبه اول.

منطق ریاضی 5.1

پیش نویس: اگر خواننده وبلاگ هستید می‌توانید به راحتی این پست‌ها را اسکیپ کنید! اینها خلاصه من از خواندن منطق ریاضی است، دلیل این که چنین چیز بی ربط به رشته ام می‌خوانم به چیزهای مختلفی برمی‌گردد، به علاقه‌ام به فلسفه ریاضی، علاقه خودم به منطق، جست جوی عقلانیت، علاقه‌ام به وارد شدن به بحث‌های فلسفه تحلیلی و فلسفه علم و کلی چیز دیگر و مهمتر از همه این که دیگر کسی برای من زر زر نکند که ریاضیات یا فیزیک منطقی یا منطقی‌تر از باقی چیزهاست، من منطق را در عمیق‌ترین سطح‌اش می‌بینم، منطق نه چیزی است که علم یا ریاضی با آن شروع می‌شود نه ارجاع چیزی به منطق لزوما به آن اعتبار می‌دهد نه حتی آن طور که ملت می‌گویند عینی است، با این همه مستقلا هم چیز جذابی است.

این ورژن دوباره ای است که می‌نویسم (آن یک دهم بعد از 5 در عنوان به خاطر همین است) روزهای پرمشغله کمتر اجازه تمرکز می‌دهد و از قضا این قسمت فنی‌ترین قسمت است که بیشتر از باقی جاها تمرکز می‌خواهد، کتاب دکتر اردشیر و کتاب اندرتون هم کمتر از همیشه واضح شده‌اند و بیشتر از هر زمانی مبهم می‌نویسند! با رفت و برگشت و بین اندرتون و اردشیر سعی می‌کنم بفهمم چه می‌گویند:

منطق مرتبه اول سعی می‌کند گزاره‌های اتمی منطق جمله‌ها را به نحوی ایجاد کند تا توصیف کننده دنیای ریاضی باشند. گزاره‌های اتمی در ریاضی بیشتر شبیه «به ازای هر عضو گروه، عضو معکوس وجود دارد» و چیزهایی شبیه به این هستند اما چنین گزاره‌هایی را چطور می‌توان صورت بندی کرد؟ برای این کار ابتدا سورها اضافه می‌شوند: «به ازای هر » (سور عمومی) و «وجود دارد» (سور وجودی) (البته مراقب باشید که سورها همیشه روی متغیرها هستند و نه توابع و رابطه‌ها، در غیر این صورت به منطق مرتبه دوم و بالاتر می‌رسیم که آن خود موضوعی جذاب است)، سپس متغیرها (چیزهایی که می‌توانند به جای اعضا بنشینند)، نامها و نامهای خاص، توابع و رابطه‌ها به «زبان» منطق اضافه می‌شوند تا دنیای "ساختار"های ریاضی را توصیف کنند، ساختارهای ریاضی هم چیزهایی هستند که از اعضای یک مجموعه و تابع‌ها و رابطه‌های روی آنها به همراه اعضایی خاص یا نام خاص (مثل صفر و یک در میدان) تشکیل شده (من قبلا از نظریه مجموعه‌ها با «ساختار» آشنا بودم) کمی تلاش هم هست که گزاره‌های بامعنا را به کمک این الفبای تازه اضافه شده بسازد و در نهایت به این صورت گزاره‌های اتمی ریاضی «مدل» می‌شوند، گزاره های غیر اتمی که قبلا در منطق جمله‌ها مدل شده‌بودند.(همین اول کار اعلام کنم که این نحو از توسعه به نظر من اعتبار «جدایی نحو از معنا» را کدر می‌کند، قاعدتا توسعه منطق به منطق مرتبه اول با نظر به ساختارهای ریاضی انجام می‌گیرد پس منطقش بی ارتباط به معنا، که ریاضی باشد، نیست)

درستی یا معناشناسی گزاره‌های منطق مرتبه اول کاملا طبیعی است، همان ترجمه فارسی عبارت است اما آنچه تعجب برانگیز، غیر بدیهی و بی‌نهایت جذاب است نقش «مدل» در درستی گزاره‌هاست. البته در منطق جمله‌ها هم درستی گزاره‌ها به «مدل» وابسته بود اما نقش مدل در اینجا از آن هم پررنگ تر است، به طوری که گزاره‌ها نه تنها درستی‌شان وابسته به مدل است بلکه حتی «معنی» گزاره‌ها مطلقا به مدل وابسته است، مدل اینجا همان ساختاری است که گزاره‌ها قرار است آن را توصیف کنند و صد البته چیزی بیش از صرفا خودِ ساختار، مدل در واقع ترجمه جمله‌های زبان مرتبه اول به اشیای ساختار است.

خُب حالا با این مدل پیچیده غیر صفر و یکی، تکلیف یافتن همانگوها چیست؟ گزاره‌هایی که در تمام مدل‌ها درست باشند؟ در منطق جمله‌ها اوضاع خوب بود چون مدل‌های مختلف در واقع ارزشدهی مختلف جمله‌های اتمی بودند اما حالا که مدل‌ها ساختار ریاضی هستند، چک کردن تک تک مدل‌ها برای این که ببینیم جمله‌ای همانگو است عملا غیر ممکن است (در واقع قضایایی وجود دارد که می‌گوید حتی در بعضی موارد به لحاظ تئوری هم غیر ممکن است :)) ) اینجاست که مفهوم استنتاج بیش از منطق جمله‌ها مورد نیاز است: روشی که به ما بگوید از گزاره‌های مشخص چه نتایجی می‌توان گرفت که در هر مدلی درست باشد. مثل منطق جمله‌ها اینجا هم روش‌هایی مختلفی برای استنتاج وجود دارد که البته مهم نیست چیستند، چیزی که مهم است قضیه درستی و تمامیت است، و بحثهایی که از آن سرچشمه می‌گیرد. قضیه درستی بدیهی است؛ آنچه از استنتاج نتیجه می‌شود درست است.

اما تمامیت چه؟ آیا تمامیت برقرار است؟ آیا برای همه همان‌گو استنتاجی هست؟ (یا به طور معادل آیا هر مجموعه سازگار مدل دارد؟) در پاسخ به سوال تمامیت، باید احتیاط به خرج داد. ظاهرا پاسخ «بله» است، اما چطور؟ مثل منطق جمله‌ها تمامیت معادل است با وجود مدل برای هر مجموعه سازگار (یا ناسازگاری هر مجموعه ای که هیچ مدلی ندارد) برای این که چنین ساختاری را بسازیم ساز و کار تا «حدی» شبیه مورد منطق جمله‌هاست: ساخت مجموعه سازگار ماکسیمال و ساختن مدل برای این مجموعه (من هنوز هم درک نکرده ام چرا در این اثباتها مدل این قدر بزرگ است؟ به جای این که مدلی برای مجموعه اولیه گزاره ها بسازند مدلی برای مجموعه ماکسیمال گزاره ها که مجموعه‌ای بیریخت و بسیار بزرگ است می‌سازند، حضور مجموعه‌های بزرگ عجیب نیست چون باید یک جوری نتیجه تمام استنتاج‌ها را داشته باشیم تا ببینیم آنچه راست است استنتاج پذیر است اما حضور مدل بزرگ همچنان برایم عجیب است). اما اینجا تفاوت فاحشی وجود دارد: مدل معنی بسیار پیچیده‌تری نسبت به منطق جمله‌ها دارد، مدلها نه توابعی دو ارزشی روی گزاره‌های اتمی بلکه ساختارهای ریاضی و ترجمه آنها هستند. به همین خاطر باید تغییری در آن روند اثبات قبلی اضافه کنیم، تغییراتی که عمدتا معطوف به ساختن ساختار یا مدل جدید است، بقیه اثبات شبیه منطق جمله‌هاست (البته اینجا به جای مجموعه ماکسیمال، از نظریه ماکسیمال استفاده می‌کنند، نظریه یعنی مجموعه‌ای از گزاره‌ها که تحت استنتاج بسته باشند، مجموعه گزاره های ماکسیمال یک نظریه است اما هر نظریه‌ای ماکسیمال نیست، اما اینجا مفهوم نظریه مهم است) نهایتا اثبات می‌شود که هر مجموعه سازگار از گزاره‌ها مدل دارد (مدل را به طریقی «می‌سازد»)

خُب حالا که تمامیت اثبات شد باید خیالمان راحت باشد که پس هر چه درست باشد استنتاج پذیر است، اما قصه به این سادگی نیست: مجموعه همان‌گوها همچنان تصمیم پذیر نیست!!! (رجوع کنید به پی نوشت مربوط) این عجیب است، احساس می‌کنم در اثبات از اصل انتخاب کامل استفاده شده و باگ قضیه هم دقیقا همین است، مطمئن نیستم، شاید بعدا که برگشتم بیشتر بخوانم. بعد قضیه فشردگی را مطرح می‌کند، فشردگی قضیه‌ای است که شاید در وهله اول خیلی مهم به نظر نرسد اما تضمین می‌کنید که برای این که ببینید یک مجموعه نامتناهی گزاره بخواهد گزاره‌ای خاص را نتیجه دهد شما عملا فقط زیرمجموعه‌ای متناهی را نیاز دارید نه تمام آن نامتناهی گزاره را.

پ.ن شمارش‌پذیری و تصمیم‌پذیری: این دو مفوم نیز جذاب هستند، شمارش‌پذیر (یا شمارش پذیر کارآمد) یعنی روشی وجود دارد که در متناهی گام و به طور مکانیکی اعضای یک مجموعه را شماره گذاری می‌کند، (شاید با اصل انتخاب شمارا احتمالا بتوان اثبات کرد که این روش برای هر مجموعه‌ی شمارا وجود دارد اما این مفهوم مستقل از اصل انتخاب است) تصمیم پذیری یک مجموعه یعنی روشی شمارش‌پذیر وجود دارد که تعیین کند آیا موجودی چون s عضو مجموعه S است یا خیر، این که روش در نهایت باید یا به جواب «بله» برسد یا به جواب «خیر» مهم است، نمی‌شود که به جواب «بله» در صورت وجود برسد ولی به جواب خیر نرسد، بنابر این تمام مجموعه‌های متناهی تصمیم پذیر هستند.

پ.ن ناتمامیت: شاید به ذهن برسد که اگر قضیه تمامیت اثبات می شود پس قضیه ناتمامیت چیست؟ آن می گوید که یک نظریه خاص ناتمام یا ناکامل است نه حساب منطق گزاره ها.

پ.ن1: پدرم در آمد، همه چیز را تعطیل کردم (آن هم وقتی جمعیتی در پی من هستند) یک هفته نشستم ضربی پشتش گذاشتم تا این قضیه تمامیت و کلا این فصل را بفهمم البته خیلی بیشتر، الان 9 ماه است که غیر از منطق ریاضی هیچ کتاب دیگری هم نمی خوانم. ولی فکر می کنم ارزشش را دارد.

پ.ن2: بعدی نظریه مدلها است، به نظر که جذاب می‌رسد، فکر کنم از این به بعد سرازیری باشد.

فلسفه شیرازی

قبل از شروعِ خواندنِ نوشته، هفت دقیقه و سی ثانیه وقت بگذارید و این استندآپ کمدی با مزه را ببینید (دستِ کم لبخندی روی چهره‌تان می‌نشیند) من چند بار قبلا این استندآپ را دیده بودم اما حالا که با سارا کلی راجع به معنی خوشبختی حرف زده‌ایم، این استندآپ به گونه‌ای دیگر برایم نمایان شده.

به نظرِ من این روایت را می‌توان چیزی بیش از یک روایت ساده برای خنداندن دید، چیزی عمیق‌تر (حتی اگر خودِ روایتگر چنین منظوری نداشته باشد*) خانم زیگلری انسانِ مدرنِ کاملا تیپیک و نوعی است، انسانی از دنیای جدید که اسطوره‌اش «موفقیت» است، منظورش هم از موفقیت شغلی و احتمالا تحصیلی و اجتماعی است و برایش سمینار برگزار می‌کند، عرفان می‌تراشد، حلقه انرژی تشکیل می‌دهد و مراسم و مناسکِ مذهبی‌گون به جا می‌آورد و به هر وسیله‌ای در تلاش است تا به آن برسد، در مقابلِ این خانم زیگلری اما شیرازیان نشسته‌اند، شاید همچون زیگلری به دنبالِ موفقیت باشد اما با فلسفه و تعریفی دیگر، با راهی کاملا متفاوت، اینان چون چیز زیادی از زندگی نمی‌خواهند (نه بیشتر از دیدن دو نفر در لباسِ عروسی آن هم روزِ عروسی :)) ) همیشه احساس رضایت و موفقیت دارند، وقتی آرزویتان یک چای ساده و خوش عطر باشد و حرص دنیا را نخورید، آرامش و لذت نوشیدنِ آن چای را هیچ پادشاهی در هیچ کجای تاریخ تجربه نکرده و نخواهد کرد.

تقابلِ این آرامشِ ساده با آن هیجان و حرص مدرن است که این موقعیت طنز را به وجود آورده، اما برعکسِ همیشه که موقعیت طنزِ برخوردِ یک روستایی ساده با شهرِ پیچیده و پر التهاب به تمسخر روستایی و عاقل جلوه دادنِ انسانِ شهری منتهی می‌شود، این بار این حرصِ خانم زیگلری است که در برابرِ آرامشِ غبطه برانگیز شیرازی‌ها، مسخره و نامربوط دیده می‌شود، تلاشِ بی‌ثمر زیگلری که این حرص را در آنها برانگیزد و آرامش عمیق آنها که توپ تکانش نمی‌دهد.

فلسفه شیرازی جمله اولِ استند آپ است، «ما زندگی را سخت نمی‌گیریم و به همین خاطر خوشبختیم» به راستی اگر نهایتا  تنها چیزِ مهم سطح دوپامین مغز یا سطح آرامش فکری باشد، چه کاری بهتر از این که آرزو و اهدافتان را دور و دراز نگیرید، یک چای یا یک صبح بارانی بهتر و راحتتر از مدیرِ ارشدِ شرکت شدن به دست نمی‌آید؟ شاید آرامش و هیجان لحظه‌ای مدیرِ ارشد شدن بیشتر باشد اما به استرسی که برایش می‌کشید می‌ارزد؟ این استرس آن هیجان را تلخ نمی‌کند؟ راستش را بخواهید من دلم با شیرازی‌هاست :)) (خلق و خوی من هم شبیه شیرازی‌هاست البته) اگر قرار بر آرامش فکری است من به این جمله (به گمانم فیه ما فیه) معتقدم که «همه غمهای عالم از آن باشد که چیزی خواهی و بدان نرسی، چون چیزی نخواستی غمی هم نداشتی». شاید زیگلری اعتراض کند که این آرامشِ شما احمقانه است، چرا که شما فرقی با بقیه ندارید که بخواهید به جهتِ آن خوشحال و آرام باشید، وقتی شبیهِ بقیه هستید یعنی چیزِ خاصی نیستید و چیزِ خاصی ندارید که بابت آن خوشحال باشید و این شادی اساسا بی‌معنی و سرخوشانه و ساده لوحانه است. اما می‌توان از زیگلری پرسید که چرا باید شادیمان را در گرو داشتن چیزی قرار دهیم؟ «شادی داشتن چیزی» با وجود طبیعی بودنِ آن، کاملا پوچ است، شادی داشتن چیزی منشا جنسی و تکاملی دارد، داشتنِ چیزی خاص توجه دیگران را جلب کرده و شانس تولید مثل را زیاد می‌کند، اما هیچ چیزِ عمیقی نیست، فقط به جهت افزایش شانس تولید مثل به واسطه موقعیت اجتماعی بهتر و پول بیشتر است.

پ.ن: تاکیدات بسیار فراوانی از حضرت علی هست که از آرزوهای دور و دراز دنیا بپرهیزید که هلاکت در پی آن است.

*قبلا که کتابِ فلسفه شوخی را می‌خواندم خیلی برایم جالب بود که در انتها نوشته بود طنز و فلسفه رابطه‌ای عمیق با هم دارند، شاید این برداشتِ من به خاطر همین رابطه عمیق باشد، حتی اگر خودِ روایتگر نداند.

این بهار

بهار داره می‌رسه، هوا گرمتر شده روزها طولانی‌تر شده «نور» بیشتر شده، پرنده‌ها دارن می‌خونن و شروع کردن به آشیانه ساختن و درختها دارن کم کم از خواب زمستانی بیدار می‌شن تا دوباره زمین رو پر کنن از زندگی، زندگی.... هر سال وقتی بهار می‌رسید من هم همراه طبیعت همین حس مثبت رو می‌گرفتم، حس زندگی، حس این که سالِ پیش رو سالِ جدیدی هستش و می‌تونم هر جور دلم بخواد بنویسمش، شور و هیجانم با طبیعت هماهنگ می‌شد و کلی فکر و خیال مثبت به سرم می‌زد، اما امسال.... امسال اوضاع فرق کرده، امسال من همش به مرگ فکر می‌کنم، این فکر ولم نمی‌کنه که با گذشتن هر بهار ما فقط یه سال به مرگ نزدیکتر می‌شیم، مهم نیست چه قدر خوب زندگی کرده باشیم، مهم نیست چی به دست آورده باشیم، مهم نیست تو این فرصت کوتاهِ زنده بودن چه قدر تلاش کرده باشیم تا از مشکلات جون سالم به در ببریم، مهم اینه که ما همیشه فراموش می‌کنیم هیچ وقت نمی‌تونیم از خودِ زندگی جونِ سالم به در ببریم، هیچ وقت.

این بهار که رسیده من دیگه فقط امیدِ زندگی رو نمی‌بینم، دیگه فقط نمی‌بینم که بعد از هر زمستونی یه بهاره، بلکه اینم می‌بینم که بعد از هر تابستون گرمی، خزانِ سردی در راهه، دیگه فقط نمی‌بینم بعد از هر مرگی یه زندگیه، بلکه اینم می‌بینم که بعد از هر زندگی یک مرگ به انتظار نشسته، طبیعت همینه، طبیعت مرگ و زندگی رو با هم داره، روی زمین همون مقداری که زندگی حاکم بوده مرگ هم حضور داشته، همون میزانی که زندگی مبارکه مرگ هم مقدسه، اگر فرزند داشتن بشارت باشه مرگ هم فرشته‌ای داره، نه فرشته ای زشت و ترسناک با داس بلند، بلکه دقیقا یه فرشته داره، زیبا و نورانی، این نامیمونی مرگ رو ما ساختیم، چون برای ما سخت بوده از دست دادن. پیامِ مرگ این نیست که یه مدت ناراحت باشیم بعدش یا علی بگیم و برگردیم سرِ زندگی‌مون و فراموشش کنیم، پیامِ مرگ عمیق‌تر از این حرفاست، پیامِ مرگ اعلامِ حضورشه، این که بالاخره گذرش به ما هم خواهد رسید.

نمی‌تونم انکار کنم که این تاثیر مرگ آقای امام در منه، مسئله غمِ از دست دادنش نیست، البته که هنوز هم خیلی دل‌تنگش هستم و گاهی چشام از نبودنش پر می‌شه اما مسئله خودِ مرگه، من هیچ وقت جدی با مرگ رو به رو نشده بودم، اما این بار راه گریزی نبود، من به چشمِ خودم دیدم اون همه شور و هیجان و انرژی و امید به آینده و «زنده»گی یه شبه رفت زیر خاک، رفت، باورم نمی‌شد اما رفت و من رو تو فکر عمیقِ مرگ فرو برُد، نمی‌دونستم بالاخره می‌میریم؟ چرا، اما نگاهم بهش این بود که حالا بعد از 60 سالگی باید انتظارش رو کشید، اون موقع هم که آدم زندگیش رو کرده حال و حولش رو رفته و دیگه مهم نیست که بعدش بمیره، اما این اتفاق بهم فهموند که نه، مرگ همچین حساب کتابی نداره، هر لحظه‌ای می‌تونه بیاد و برداره ببره.

حالا که مرگ این قدر هست و این قدر روی کره زمین بوده پس باید باهاش کنار اومد، نه تنها کنار اومد که باهاش زندگی کرد، بهش فکر کرد، باهاش رقصید و رفیق شد. ما جوری جون خودمون رو دوست داریم و مرگ رو از یاد می‌بریم که انگار قراره تا ابد زنده باشیم، اما این خیال خامه، مرگ همیشه بوده و گذرش به همه افتاده، از چنگیز و تیمور تا حافظ و سعدی، به قول حضرت علی مرگ نه با ما شروع شده نه با ما تموم میشه، همیشه بوده و بوده و تا زندگی هست هم خواهد بود، مرگ روی دیگه سکه‌ای هست که ما فقط دوست داریم سمت زندگیش رو ببینیم.

پ.ن: خدا رحمت کنه آقای امام رو، خیام زیاد می‌خوند و یه بار بی هوا یه دیوان از خیام رو به من کادو داد، خودش شعر «ما را که صحرای علل تاخته‌اند...» رو زیاد می‌خوند اما شعری که به فضای این مرگ و زندگی نزدیکه این شعرشه:

پیش از من و تو لیل و نهاری بوده است

گردنده فلک نیز به کاری بوده است

هر جا که قدم نهی تو بر روی زمین

آن مردمک چشم نگاری بوده است....

یه بار که بالای یه تپه وایسادید و به زمین و خاک و گذشته نگاه می کنید این شعر رو برای خودتون بخونید، آن مردمک چشم نگاری بوده است....

منطق ریاضی 4

معناشناسی منطق گزاره‌ها صرفا «درستی» گزاره‌ها را بر اساس تابع ارزش گزاره‌های اتمی تعریف می‌کند همچنین اگر هر مدلی که مجموعه آ از گزاره‌ها را «راست» کند گزاره ب را نیز راست کند معادل است با این که ب نتیجه معناشاسانه آ است. اما راه دیگری هم برای بررسی درستی گزاره‌ها و ارتباط آنها با مجموعه دیگری از گزاره‌ها وجود دارد که بیشتر به «تفکر ریاضی» و مدل ریاضی «اثبات ریاضی» شبیه است: تعریف استنتاج؛ چگونه از گزاره یا گزاره‌هایی، مجموعه دیگری از گزاره یا گزاره‌ها را نتیجه بگیریم؟ تعریف استنتاج به گونه‌های مختلفی اتفاق می‌افتد، یا چون دستگاه هیلبرت مجموعه‌ای از اصول موضوعه‌ها داریم به علاوه یک قاعده استنتاج (که گزاره‌های جدید با همین قاعده استنتاج ساخته می‌شود) یا مثل دستگاه اسنتنتاج طبیعی فقط قاعده اسنتتاج داریم که گزاره های جدید میسازد. بعد از تعریف استنتاج (که کاملا متفاوت از ماهیت معناشناسی است) قسمت اعظم این بخش اختصاص داشت به این سوال که «آیا این دو تعریف از استنتاج، یعنی درستی یا حقیقت و اسنتنتاج یا برهان با هم معادل هستند یا نه؟» به عبارتی آیا این دو جمله با هم معادل هستند: «ب نتیجه معناشناسانه آ است» و «برای گزاره ب استنتاجی از آ وجود دارد».

یکی از قسمت‌های این سوال، یعنی این که «برهانی برای ب از آ وجود دارد» نتیجه می‌دهد که «ب نتیجه معناشناسنه آ است» به نظر بدیهی می‌رسد. کافی است با بازگشت نشان دهیم که هر قدم استنتاج گزاره‌ای به دست می‌دهد که نتیجه معناشناسنه گزاره قبلی است، این قضیه به قضیه «درستی» معروف است. یعنی آنچه با استنتاج به دست می‌آید لزوما قواعد «درست» بودن را رعایت می‌کند.

عکس سوال اما غیر بدیهی است، یعنی به این راحتی مشخص نیست که اگر «ب نتیجه معناشناسنه آ است» برقرار باشد لزوما نتیجه بدهد که «برای ب استنتاجی از آ وجود دارد» یا به طور معادل بدیهی نیست که برای هر نتیجه معناشناسانه میتوان استنتاجی داشت یا خیر؟واقعیت این است که اثبات این قسمت پر زحمت‌تر از اثبات قضیه «درستی» است و این نشان از همین بدیهی نبودن دارد. طرح کلی اثبات از این قرار است که نشان دهیم پاسخ مثبت به این سوال معادل با این است که «هر مجموعه سازگار از گزاره‌ها مدل دارد» سپس این قسمت را (که به لم وجود مدل معروف است) اثبات کنیم* معادل بودن این دو عبارت خیلی عجیب نیست، البته بهتر است برای این که اثبات واضح‌تر باشد لم وجود مدل را جور دیگری بیان کنیم که من اسمش را میگذارم لم عدم وجود مدل :)) (در واقع عکس نقیض لم وجود مدل است) «هر مجموعه از گزاره‌ها که هیچ مدلی نداشته باشد لزوما ناسازگار است» مخصوصا با توجه به این که هیچ مدلی تناقض را برقرار نمی کند، اگر برای مجموعه‌ای از گزاره‌ها هیچ مدلی وجود نداشته باشد مثل این است که تناقض نتیجه معناشناسانه آن مجموعه است، بنا بر این لم عدم وجود مدل تبدیل می‌شود به این که «اگر نتیجه معناشناسنه مجموعه ای از گزاره ها تناقض باشد آنگاه تناقض قابل استنتاج است یا آن مجموعه ناسازگار است» که من این بیان را از دو جهت خیلی بیشتر دوست دارم یکی این که قیافه آن کاملا شبیه قضیه تمامیت است (بنا بر این معادل بودنش واضح‌تر است) دوم این که ناسازگاری برای من خوش تعریف‌تر از سازگاری است. حالا معادل بودن لم عدم وجود مدل با قضیه تمامیت واضح است: فرض کنید هر مدلی که مجموعه گزاره آ را برقرار کند گزاره ب را هم برقرار می‌کند، آنگاه هیچ مدلی برای مجموعه‌ گزاره آ و نقیض گزاره ب وجود ندارد، حالا اگر لم عدم وجود مدل برقرار باشد می‌توان نتیجه گرفت که گزاره‌های آ و نقیض ب ناسازگار هستند و تناقض را نتیجه می‌دهند در نتیجه گزاره‌های آ لزوما ب را نتیجه می‌دهند که  صورت قضیه تمامیت است. از طرفی شکل خاصی از قضیه تمامیت همان لم عدم وجود مدل است: شکلی که در آن میگوید «اگر نتیجه معناشناسانه گزاره آ تناقض باشد آنگاه استنتاجی برای تناقض از آ وجود دارد» به همین سادگی!

برای اثبات خودِ لم وجود مدل کلی عملیات غیر بدیهی انجام می‌شود: اولا از مفهومی نه چندان بدیهی به نام مجموعه گزاره ماکسیمال استفاده می شود (یک جورهایی یعنی مجموعه ای که تمام گزاره های درست را در خود دارد) بعد اثبات می کند که برای هر مجموعه سازگار از گزاره‌ها مجموعه‌ای ماکسیمال سازگار وجود دارد که مجموعه اولیه زیر مجموعه آن مجموعه ماکسیمال است(با استفاده از اصل انتخاب یا معادلهای آن، مجموعه ماکسیمال گزاره ها هر گزاره‌ای که منجر به تناقض نشود را به مجموعه قبلی اضافه میکند این حتی شامل اتمهایی میشود که در مجموعه گزاره اولیه نیستند، اضافه کردن همه عبارتها :)) واقعا چی فکر کردن با خودشون؟) و در نهایت نشان می‌دهد میتوان مدلی برای مجموعه ماکسیمال سازگار ساخت (این «می‌توان» با استقرا انجام میشود، گزاره های اتمی و سپس هر گزاره‌ای که با اینها ساخته می‌شود مدل دارد، و این مدل داشتن به خاطر سازگاری مجموعه به هم نمی خورد). این قضیه پر دردسر به قضیه تمامیت مشهور است، تمامیت به این معنی که منطق گزاره ها و روش‌های استنتاج، می‌تواند «تمام» همانگو ها را استنتاج کند یا تعیین کند که راست است یا خیر. اهمیت اینجاست که همانگو ها را می‌توان به صورت معناشناسانه به راحتی یافت اما به لحاظ استنتاجی این قضیه است که تضمین می کند برای تمام همانگوها اسنتنتاجی وجود دارد (به عبارتی تمام همانگونها اثبات شدنی یا استنتاج شدنی هستند) اما آیا روشی وجود دارد که برای هر همانگو، استنتاجی ساخت؟ خوشبختانه بله، و این تا حدی ما را از شر این اثبات خلاص می‌کند.

البته منطق گزاره ها به یک معنی هم کامل یا تمام نیست، یعنی منطق گزاره ها نمی‌تواند راجع به هر گزاره ای استنتاجی برای آن یا نقیض اش ارائه کند.

از این به بعد نوبت منطق مرتبه اول و قضایای درستی و تمامیت برای منطق مرتبه اول است.

* سازگار بودن مجموعه‌ای از گزاره ها به نظر خیلی بدیهی نیست، سازگاری یعنی از مجموعه‌ای از گزاره‌ها نتوان تناقض را استنتاج  کرد و اگر بشود یعنی مجموعه ناسازگار است، این که اگر تناقض از گزاره‌ها منتج شود یعنی مجموعه گزاره ها ناسازگار است را قبول دارم اما آیا می‌توان چک کرد که هیچ استنتاجی تناقض را نتیجه نمی‌دهد؟ به عبارتی آیا نتیجه تمام استنتاجها را داریم که بدانیم تناقض بین آنها هست یا خیر؟ به همین خاطر هم درون اثبات از مجموعه بیریختی مثل مجموعه ماکسیمال استفاده می‌کنند که نتیجه تمام استنتاجها را دارد، اما درون این مجموعه چطور می‌توان جست و جو کرد؟ به همین خاطر هم هست که ناچاریم در این قسمت از اصل انتخاب استفاده کنیم که بسیار مناقشه آمیز است و به اصطلاح ساختی نیست.

منطق ریاضی 3

خُب برگردیم* به موضوع منطق ریاضی، به خاطر روزهای بسیار پرمشغله‌ام کمتر فرصت تمرکز داشتم و کتابش بسیار تمرکز می‌خواهد چون موضوع حساس است و ظریف ولی به هر حال بخش «معناشناسی منطق گزاره‌ها» کتاب دکتر اردشیر (کتاب را عوض کردم :)) ) را بیش از سه چهار بار با فواصل طولانی خواندم تا بفهمم موضوع چیست، دست کم فکر می‌کنم که فهمیده‌ام، هیجان‌انگیز بود.

تا اینجا تلاش بر این بود که به صورت نحوی و کاملا صوری به کمک نظریه مجموعه‌ها، گزاره‌های منطق را شکل بدهیم. تفکیک زبان منطق گزاره‌ها به نمادهای گزاره‌ای یا اتم‌های زبان (یا گزاره‌های اتمی) و نمادهای گزاره‌ای (عطف و شرط و ...) که خودش مسئله‌ای غیربدیهی است از جذابیت‌های این بخش بود که البته اصل جذابیت آن در بخش بعد است که می‌گویم (یک تفکیک دیگر هم هست که از آن هم جالبتر است: تفکیک زبان منطق گزاره‌ها و فرازبانی که منطق گزاره‌ها در آن بررسی می‌شود هم جالب است، یعنی ما باید زبانی را که با آن زبانِ دیگری را بررسی کنیم جدی بگیریم، این تفکیکی است که ویتگنشتاین انجام نداده، یعنی با خودِ زبان زبان را توصیف کرده). بعد با ادات شرط و فصل و عطف و غیره، نحوه «درست» ترکیب آنها با تعریف استقرایی تعریف می‌کنیم. باز به عبارتی «درست» را تعریف می‌کنیم. با قضیه بازگشت می‌توان نشان داد روی گزاره‌ها (چه اتمی چه ترکیبی) می‌شود تابع تعریف کرد (از مجموعه گزاره‌ها به روی هر مجموعه‌ای)، از این قضیه می‌توان استفاده کرد تا نشان داد که روی گزاره‌ها تابع ارزش هم می‌توان تعریف کرد، یعنی به طور یکتا ارزش گزاره‌ها را تعیین کرد (که البته لزوما دو ارزشی نیست) تا اینجا درست، از اینجا به بعد که به معناشناسی می‌رسد جذابتر هم می‌شود.

 بدیهی است که می‌توان روی گزاره‌ها تابع دو ارزشی تعریف کرد، گزاره‌ها یا درست هستند یا نا درست یا T هستند یا F یا ارزش صفر دارند یا یک! پس کافی است بدانیم که می‌شود تابعی تعریف کرد که هر گزاره را یا به یک نسبت دهد یا صفر که قضیه قبلی این توانایی را تضمین کرده. حالا که این توانایی تضمین شده آیا می‌توان بیشتر از این هم فهمید؟ بله! تعبیر، تابعی از روی گزاره‌ها به مجموعه صفر و یک است با قواعد ترکیب طبیعی (یعنی مثلا یک و صفر میشود صفر) و می‌توان اثبات کرد اگر ارزش گزاره‌های اتمی را بدانیم ارزش هر گزاره را به طور یکتا می‌دانیم. اگر دو تعبیر راجع به گزاره‌های اتمی موافق باشند آنگاه راجع به هر گزاره‌ای موافق‌اند. تا اینجا نیمچه بدیهی است اما نقش تعبیر در تعاریف بعدی جالب است.

می‌گوییم مجموعه از گزاره‌ها مثل الف نتیجه معنا شناسانه مجموعه دیگری از گزاره‌ها مثل ب است اگر هر تعبیری که همه گزاره‌های ب را برقرار کند، الف را هم برقرار کند (برعکسش لازم نیست، اگر برعکسش هم درست باشد آنگاه اساس دو مجموعه گزاره‌ها معادل هستند) و جذابیت دیگر همانگویی است: گزاره‌هایی که با هر تعبیری راست هستند. بعدا به این «راست» بودن بر می‌گردم اما الان دو تا نتیجه جالب را بگویم: یکی این که اساسا می‌توان راجع به همانگو بودن هر گزاره تصمیم گیری کرد: جدول درستی گزاره‌ها الگوریتمی پایانپذیر است پس می‌توان راجع به همانگو بودن تصمیم گرفت، کافی است تمام تعابیر ممکن را امتحان کنید. نتیجه جالب دیگر این است که اساسا می‌توان با هر تعبیری راجع به درستی و نادرستی گزاره تصمیم گرفت آن هم به طور با پایان و یکتا (این نتیجه همان قضیه است که میگوید میتوان روی گزاره‌ها تابعی یکتا تعریف کرد) حالا گزاره های تصمیم ناپذیر چه هستند؟ هنوز نمی دانم! یک قضیه جانشینی هم اثبات می کند که جالب است.

اما جالبترین قسمت برای من این حرف بود که معنی تعبیر چیست، تعبیرهای مختلف را گاهی «مدل» های مختلف هم می‌گویند، این بسیار جالب بود چرا که معنی این که یک گزاره با یک مدل درست است یا با مدلی دیگر غلط نشان می‌دهد که ما با گزاره‌ها جهان را چطور می‌فهمیم. گزاره‌های همان گو هم با وجود «درست» بودنشان هیچ اطلاعاتی به ما نمی‌دهند چون اساسا با هر مدلی درست هستند، درستی این گزاره‌ها صرفا در «نحو» و «دستور زبان» ما تعریف و تضمین شده نه در جایی آن بیرون و به زبان خودِ منطق گزاره‌ها این گزاره‌ها اساسا چیزی نمی‌گویند. اما شهودِ جذاب دیگری که از این کلمه «مدل» به ذهنم می‌آید راجع به ارتباط ریاضی با جهان و ساختار خود ریاضی است. ریاضی مجموعه‌ای گزاره اتمی دارد با مجموعه‌ای دیگر از گزاره‌های ترکیبی که به هم مربوط می‌شوند. اگر مدلی داشته باشیم که گزاره‌های اتمی یک ساختار ریاضی (مثل جبر خطی) را صادق کند و آن مدل بر جهان منطبق باشد آنگاه تمام قضایای آن ساختار ریاضی صادق و منطبق بر جهان خواهند بود (البته که این منطبق بر جهان بودن می‌تواند محل هزار جور مناقشه باشد) و صد البته من هنوز مدل استنتاج ریاضی را نخوانده‌ام، بخش بعدی مدل کردن استنتاج ریاضی است.

پ.ن: دارد جالبتر میشود.

 

*برگردم؟ کجا برگردم، به زندگی؟ به زندگی که با هر نفس و هر روزی که می‌گذرد یک قدم به مرگ نزدیکتر می‌شوم؟

Power is a curious thing my friend

چرا پادشاهان قدرتمند می‌شوند؟ چرا علمای مذهبی قدرتمند می‌شوند؟ چرا پولدارها قدرتمند می‌شوند؟ خُب، این آخری ساده‌‌تر به نظر می‌رسد اما کلا مسئله آنقدرها واضح نیست (یا دست کم برای ذهن کند من آنقدر واضح نست) همیشه این اطاعت ملت از سلسله مراتب قدرت برایم شگفت‌آور بود، چه ضمانتی وجود دارد که آدم‌ها فرمان پادشاه را اجرا کنند؟ شاید به سادگی پاسخ دهیم : پادشاه سرباز دارد و اگر ما فرمانش را اجرا نکنیم آنها ما را می‌کشند. ولی این فقط هُل دادن سوال به قسمتی دیگر است: چرا سربازها از پادشاه اطاعت می‌کنند؟ اگر آنها اطاعت نکنند پادشاه چگونه می‌تواند آنها را تهدید کند؟ شاید بگوییم قانونی وجود دارد و سربازها آن قانون را اجرا می‌کنند، اما این هم هل دادن مسئله به جایی بدتر است: قانون چطور ضمانت اجرایی پیدا کرده؟ دست‌کم پادشاه موجودی زنده و حاضر است اما قانون، نوشته‌ای روی کاغذ است (اگر اصلا باشد).

در قسمت سوم فصل دوم سریال بازی تاج و تخت (من این سریال را ندیدم البته) لُرد وریس معمایی به تریون می‌گوید: سه مرد مهم در اتاقی هستند: یک پادشاه، یک کشیش و یک تاجر پولدار، بین این سه مرد سربازی با شمشیر ایستاده، هر کدام به سرباز دستور می‌دهند که دو مرد دیگر را بکشد. چه کسی می‌میرد و چه کسی زنده می‌ماند؟ تریون جواب می‌دهد که به سرباز بستگی دارد و وریس می‌پرسد که چرا؟ سرباز نه پول دارد نه چیزی شبیه فر ایزدی و نه تاج و تخت دارد پس چرا به سرباز بستگی دارد؟ پاسخ تریون این است که سرباز شمشیر دارد که قدرت مرگ و زندگی است. پرسش بعدی وریس به نظر من پاسخ معما است: اگر قدرت واقعی دست سرباز است چرا وانمود می‌کنیم که قدرت دست کس دیگری است؟! تریون حوصله اش سر می‌رود و وریس ادامه می‌دهد که قدرت چیز عجیبی است، قدرت در دستان کسی است که مردم باور کنند در دستان اوست، این یک حقه است، درست مثل سایه، و یک مرد کوچک می‌تواند سایه‌ای بسیار بزرگ داشته باشد!

این دیالوگ و صحنه به علاوه همه‌ی چیزهایی که در این چند سال از ویتگنشتاین و فلسفه علم آموختم مرا به بصیرت امروزم نسبت به قدرت رسانده (که قطعا بصیرت اولیه است و نیاز به چکش خوردن دارد) : قدرت (دست کم در مقیاس عظیم کشور) چیزی جز توافق آدمها برای قدرت دادن نیست! شاید در مقیاس قبیله آن که اسلحه یا پول یا حتی قدرت بدنی دارد بتواند کاری بکند اما در مقیاس کشور، قدرت صرفا از توافق آدم‌ها برای قدرت دادن است؛ سربازان توافق می‌کنند که پادشاه قدرت داشته باشد، توافق سربازان را عوض کنید (مثلا با وزیر جنگ که سربازان به آن وفادارند) حکومت از قاجار به پهلوی تغییر می‌کند، توافق مردم را عوض کنید (که سربازان هم جزوی از مردم هستند) حکومت از پهلوی به جمهوری اسلامی تغییر می‌کند، تمام قدرت آمریکا و دلار بر مبنای توافقی است که از طرف کشورها برای ارز مرجع بودن دلار رخ داده، توافق را عوض کنید، قدرت آمریکا از بین می‌رود، تحریم‌ها کاغذپاره بودند اگر باقی کشورها غیر از آمریکا این را باور داشتند و کلی مثال دیگر که نشان می‌دهد قدرت صرفا در باور ما برای قدرت است.

اما به هر حال این باور قدرتمند است، شاید صرفا باور باشد اما نتیجه‌اش صرفا باور نیست. مرداد 32 سربازان صرفا باور داشتند که قدرت دست شاه است اما نهایتا همین باور باعث 25 سال دیکتاتوری شد. قطعا توافق گروهی که قدرتِ سخت را داشته باشند مهم است در این که قدرت واقعا دست چه کسی باشد اما قدرت نرم یعنی این که تو می‌توانی توافق گروه دارای قدرت سخت را عوض کنی و این یعنی تو کل قدرت را عوض کرده‌ای. خلاصه که قدرت چیز عجیبی است.

پ.ن1: علم هم در جایگاهی واقعا چنین توافقاتی دارد، ماده تاریک نظریه خوبی است چون آدم‌ها توافق کرده‌اند که نظریه خوبی است، فلوژیستن بر مبنای توافق نظریه خوبی بود و بر مبنای توافق نظریه بدی شد! البته چونان مسئله قدرت که مهم است قدرت سخت دست چه کسی است اینجا هم مشاهدات مهم هستند، اما دقت کنیم که اولا مشاهدات را می‌توان بازتعبیر کرد ثانیا معمولا چیزهایی مثل ماده تاریک یا فلوژیستن بر مبنای یک مشاهده به دست نیامده اند که بر مبنای یک مشاهده از بین بروند، مجموعه ای از مشاهدات از این ایده‌ها حمایت کرده و مجموعه‌ای دیگر از مشاهدات با این ایده ها مغایرت دارند، در نهایت این جامعه علمی و توافق آدم‌هاست که کدام دسته مشاهدات (مغایر یا حامی) را ارجح بدانند تا نهایتا نظریه یا قبول کنند یا رد کنند، اتفاقا به خاطر همین قیاس سیاست و علم بود که کوهن نام کتابش را ساختار انقلابهای علمی گذاشت که انقلاب به یکی از چیزهایی که اشاره می‌کند دقیقا همین وجه تعویض قدرت صرفا بر مبنای توافق است (چیزهای دیگری هم هست البته).

پ.ن2: در اجتماعات، قدرتِ حاصل از شهرت (مثل بازیگران در کف خیابان یا دانشمندی چون ویتن در جامعه فیزیک) دقیقا همین وجه توافقی را با خود دارد، بهاره رهنما مهم است چون آدم‌ها مهمشان کرده‌اند، بهاره رهنما نه فره ایزدی دارد نه قدرت معنوی، این آدمها هستند که توافق کرده‌اند او مهم باشد، همین طور این آدمها هستند که توافق کرده‌اند ویتن مهم باشد، شهرت و قدرت از توافق آدم‌ها حاصل می‌شود نه از خفن بودشان، گرچه چیزهایی هم مهم است اما نهایتا این توافق آدم‌هاست که تعیین کننده است.

پ.ن3: در سلسله فروریزش های ارزشهای اجتماعی، قدرت و شهرت هم برایم با این ایده فرو پاشیده‌اند. صد البته که قبلا هم نه به قدرت علاقه‌ای داشتم نه به شهرت ( قطعا که علاقه دارم ، هر کسی دارد ولی دوست ندارم زندگی‌ام را صرف رسیدن به آن کنم) اما این که توصیفی داشته باشم تا هر دوی این‌ها را به چنین چیز بی‌ارزش و دمدمی و بی‌ربطی وصل کند واقعا نابودش کرد. حتی این ایده که معروف شدن در جامعه فیزیک به واسطه نوبل یا هر چیز دیگری نهایتا محصول توافق است نه چیزی عینی و همه پذیر برایم آزار دهنده است.

پ.ن4: با این همه این قیاس قدرت و علم شاید برای حل مسئله عقلانیت علم راه‌گشا باشد. همچنان باید کواین بخوانم اما قبلش میخواهم منطق ریاضی بخوانم و نمی‌گذارند.

پ.ن5: کم کم به نبودن مصطفی امام عادت کرده ایم، گرچه سخت، گرچه هنوز باور نکردم که نیست، اما عادت کرده ایم، کمی به هم نزدیک تر شدیم تا این وضعیت را راحت تر تحمل کنیم ولی نهایتا روز و ساعتی نیست که پسِ ذهنم آقای امام نباشد.