منطق ریاضی 7 :تصمیم ناپذیری و قضیه گودل

 

و بالاخره بعد از چهار ماه جان کندن لابه لای کارهای دانشگاه و پروژه برقی‌ام این فصل را خواندم، هوراااااااا، علی رغم این که فکر می‌کردم به خاطر پدری که در بخش منطق مرتبه اول از من در آمد، این قسمت سرازیری است و سریع می‌خوانم اما کلا یک فضای دیگر بود، در واقع اصلا ربطی به منطق مرتبه اول ندارد و پدرم هم در اینجا در آمد! این قسمت را متاسفانه فقط کتاب اندرتون داشت و همین کار را برایم بیشتر مشکل می‌کرد.

تصمیم پذیری چیست؟ تعریف تصمیم پذیری تا اینجا یک تعریف شهودی بود: روشی کارآمد وجود دارد که در متناهی گام تعیین کند s عضو S  است یا خیر. به همین جهت می‌شُد نشان داد که بعضی چیزها تصمیم پذیر هستند: مثلا می‌شود نشان داد نظریه اعداد همراه با تالی تصمیم پذیر است (به این معنی که می‌توان نشان داد هر جمله یا عضو نظریه است یا نیست( تصمیم پذیری این نظریه به این خاطر است که این نظریه اصل پذیر متناهی است و تمام هم هست با توجه به این که نظریه حاصل از هر مدل یا ساختار اصولا تمام است، پس اگر نظریه‌ای که از مجموعه اصول موضوعه به دست می‌آید هم تمام باشد به این معنی است که این نظریه با نظریه ساختارش یکی است، چون هر گزاره یا خودش در نظریه است یا نقیض‌اش بنا بر این دو نظریه تمام در یک زبان اگر سازگار باشند با هم یکی هستند. اما این نظریه تصمیم پذیر هم هست چرا که تمام جملات از استنتاج‌های متناهی از اصول موضوعه به دست می‌آیند بنابراین روش تصمیم‌گیری شمارش قضایای اصول موضوعه است که به خاطر تمام بودن نظریه بالاخره به آن می‌رسیم، نکته‌ای که باید به خاطر داشته باشیم این است که نظریه اصل‌پذیر و تمام حتما تصمیم‌پذیر است.

اما دردسری وجود دارد: با تعریف شهودی تصمیم پذیری ما حداکثر می‌توانیم نشان دهیم بعضی چیزها تصمیم پذیر هستند، اما نمی‌توانیم نشان دهیم بعضی چیزها (مخصوصا چیزهای صوری) تصمیم‌پذیر نیستند! (از کجا بدانیم روشی وجود ندارد؟) تعریف ما از تصمیم‌پذیری تا اینجا چیزی شبیه تعریف شهودی پیوستگی است: یک خم پیوسته است اگر بتوان بدون بلند کردن قلم تمام آن را رسم کرد. به جای این تعریف شهودی باید تعریفی از تصمیم پذیری ارائه داد که صوری باشد (مثل تعریف  اپسیلون و دلتا از پیوستگی تا بتوان با آن اثبات های بیشتری انجام داد و پیوستگی بسیاری از خمها را آزمود، تعریف صوری این خوبی را دارد که می‌توان مثلا نشان داد بعضی وضعیت‌ها به تناقض می‌رسند مثلا فرض پیوستگی تابع دیرکله غیر ممکن است، البته منظور از صوری بودن اینجا صوری بودن مرتبه اول نیست، صوری بودن اینجا مفهومی به مراتب شهودی تر از منطق مرتبه اول دارد که در آن عبارت‌های ریاضی  دنباله‌ای از نمادها هستند، با این همه آنقدر صوری هست که بتوان با آن اثبات ریاضی در زبان عادی ریاضی انجام داد، درست مثل تعریف اپسیلون و دلتا).

خُب، حالا جور دیگری می‌پرسیم: نظیر یا همزاد صوری تصمیم‌پذیری چیست؟ نمایش پذیری در یک نظریه سازگار و اصل‌پذیر متناهی! نمایش پذیری یعنی چه؟ قبل از آن بیاید اول راجع به تعریف پذیری حرف بزنیم. وقتی رابطه‌ای مثل R در یک ساخت تعریف پذیر است به این معنی‌ست که فرمولی وجود دارد که آن رابطه را تعریف کند، مثلا در نظریه اعداد دارای جمع، به راحتی می‌توان فرمولی نوشت که فقط یک متغیر آزاد دارد و فرمول فقط و فقط وقتی برقرار است که عدد زوج در آن جای‌گذاری شود به این ترتیب رابطه زوج بودن در نظریه اعداد شامل جمع قابل تعریف است (ولی در نظریه اعداد شامل فقط صفر و تالی قابل تعریف نیست، یعنی نمی‌توان فرمولی مرتبه اول نوشت که بتواند فقط برای اعداد زوج برقرار باشد) نمایش‌پذیری گرچه شبیه تعریف پذیری است اما با آن متفاوت است، نمایش پذیری یک رابطه R در یک نظریه مثل T  یعنی فرمولی وجود دارد که رابطه R را در ساخت معادل نظریه تعریف می‌کند (یعنی رابطه باید تعریف پذیر باشد) و این که به ازای هر جاگذاری فرمول، یا خود فرمول عضو T باشد یا نقیض آن. بنا بر این اگر نظریه T از مجموعه‌ای از اصول موضوعه به وجود آمده باشد، آنگاه نمایش‌پذیری یعنی این که از اصول موضوعه بتوان درستی یا نادرستی فرمول را به ازای هر ورودی استنتاج کرد اما در صورتی که نظریه T از یک ساختار به وجود آمده باشد آنگاه رابطه R در صورت تعریف‌پذیر بودن نمایش پذیر هم هست. و برای بار آخر: تصمیم پذیری یعنی نمایش‌پذیری در یک نظریه سازگار و اصل‌پذیر متناهی! تاکید می‌کنیم (و کتاب نیز هم) که این یک تعبیر صوری از مفهوم شهودی تصمیم‌پذیری است و هنوز باید تضمین کنیم هر رابطه تصمیم‌پذیر واقعا در یک نظریه اصل‌پذیر متناهی قابل نمایش است (و این تضمین قطعا به فرم اثبات نیست وگرنه اصلا نیازی به تعریف صوری نبود!)

و گودل ما تازه اینجا وارد ماجرا می‌شود: گودل با ایده‌ای هوشمندانه، بررسی عبارت‌ها را تبدیل می‌کند به محاسبه اعداد، بنا بر این شما می‌توانید تعریفی  از تصمیم پذیری داشته باشید که به زبان نظریه اعداد است، اما چطور؟ گودل به هر عبارتی در منطق مرتبه اول (در هر زبان شمارا) یک عدد طبیعی یکتا نسبت می‌دهد که به آن عدد گودل عبارت می‌گویند. بنا بر این دست کم برای زبان‌های شمارا می‌توان نشان داد جمله‌ها و عبارت‌ها به اعداد تبدیل می‌شوند و استنتاج‌ها به محاسبه تبدیل می‌شوند به همین خاطر می‌توانیم به جای بررسی جمله‌ها، اعداد را بررسی کنیم و به جای نظریه جمله‌ها نظریه اعداد را نگاه کنیم! نظریه اعداد خاصی که برای کار گودل لازم است فقط نیاز به اصول موضوعه اصلی حساب پئانو دارد ؛ جمع و ضرب و تالی تعریف شوند، همین! نام این نظریه را  TAE می‌گذاریم. بعد نشان می‌دهد که تمام اعمال منطقی و استنتاج‌ها دقیقا معادل محاسباتی نمایش‌پذیر در TAE هستند. بنا بر این به یک نتیجه شگفت آور می‌رسد:

هر رابطه‌ای که در یک نظریه اصل‌پذیر متناهی نمایش‌پذیر است، در TAE  نیز نمایش‌پذیر است!

ظاهرا قبلا ریاضی دان ها تعریف کرده بودند: رابطه‌ای که در یک نظریه با صفر و تالی نمایش‌پذیر باشد بازگشتی است بنا بر این محتوای این نتیجه این است که

 هر رابطه‌ی تصمیم‌پذیری بازگشتی است!

بنابراین بازگشتی بودن به معنی تصمیم‌پذیر بودن است. (بازگشتی اینجا به آن معنی بازگشتی که شهودا با آن آشناییم نیست، بلکه دقیقا یعنی همین نمایش پذیر بودن در زبانی با صفر و تالی است! ظاهرا این نامگذاری فقط دلایل تاریخی دارد) از این به بعد من به جای نمایش‌پذیر بودن در TAE ، از کلمه «بازگشتی» بودن استفاده می‌کنم. با این اوصاف ایده تعریف تصمیم‌پذیری با بازگشتی بودن آنچنان هم بد نیست، واقعا ما انتظار داریم هر فرایند تصمیم گیری قابل نمایش در یک نظریه اصل‌پذیر باشد، در واقع حتی بیشتر از این، تمام ماشین‌های محاسبه ایده‌آل مثل ماشین تورینگ تمام اعمالی را که انجام می‌دهند بازگشتی است و بنابراین قابل نمایش در TAE، پس خیلی هم ایده بدی نیست که بگوییم تصمیم‌پذیری یعنی بازگشتی بودن.

اما برویم سراغ تصمیم ناپذیری برای شروع بیاید یک لم ثابت کنیم، لم نقطه ثابت: برای هر فرمول دلخواه در نظریه اعداد مثل B(v)  (که v متغیر فرمول است) می‌توان جمله‌ای مثل s یافت که s برقرار است اگر و فقط اگر B(#s) برقرار باشد (#s یعنی عدد گودل جمله s) برای اثبات کافی است بدانیم تابعی وجود دارد که به ازای هر فرمول A(v) (که v متغیر آزاد فرمول است) مقدار #A(#A) را محاسبه می‌کند (واقعا در TAE محاسبه پذیر است، باور کنید!) اسم این تابع را f می‌گذارم که ورودی‌اش فرمول است (در واقع عدد گودل فرمول) و خروجی‌اش عدد گودل همان فرمول وقتی که عدد گودل خودش درون خودش جایگذاری شده یعنی اگر عدد گودل فرمول A(v)، r  باشد آنگاه A(r) یک جمله است و f(r)=#(A(r)). حالا فرمول جدید C(t)را در نظر بگیرید که فقط وقتی برقرار است که B(f(t)) برقرار باشد (این فرمول قطعا وجود دارد به زبان شهودی C(t)=B(f(t)) است). فرض کنید عدد گودل این فرمول q است یعنی q=#C(t) حالا اگر این عدد را درون خود فرمول C(t)جای‌گذاری کنیم چه می‌شود؟ طبق تعریفِ C، C(q) اگر و فقط اگر B(f(q)) و با توجه به این که f(q)=#C(q) آنگاه C(q) اگر و فقط اگر B(#C(q)) و این یعنی C(q) همان جمله s است! پس لم اثبات شد.

خُب حالا این لم به چه دردی می‌خورد؟ فرض کنید کسی ادعا کند نظریه اعداد (یعنی نظریه ساختاری با صفر و یک و تالی و جمع و ضرب) نمایش‌پذیر است  و این یعنی فرمولی وجود دارد مثل N(t) که عدد گودل یک جمله مثل G را می‌گیرد و برقرار است اگر G در نظریه اعداد برقرار باشد و برقرار نیست اگرG  در نظریه اعداد برقرار نباشد، فرض کنید B معادل نقیض N باشد یعنی B(t) برقرار است اگر و فقط اگر ورودی‌اش عدد گودل جمله‌ای نادرست از نظریه اعداد باشد. حال با استفاده از لم بالا برای B می‌دانیم جمله‌ای مثل s در نظریه اعداد وجود دارد که B(#s) برقرار است اگر  فقط اگر s برقرار باشد. حالا اگر s جمله‌ای باشد که در نظریه اعداد برقرار است به این معنی است که B(#s) باید برقرار باشد اما این تناقض است چون طبق تعریف B،  B(#s) برقرار است اگر و فقط اگر s جمله‌ای نادرست از نظریه اعداد باشد و برعکس، اگر s واقعا جمله‌ای نادرست از نظریه اعداد باشد آنگاه B(#s) طبق تعریف B باید برقرار باشد اما می‌دانیم B(#s)  برقرار است اگر و فقط اگر s برقرار باشد (یعنی جمله‌ای درست از نظریه اعداد باشد) با توجه به این تناقض چنین B وجود نداشته و چنین N هم وجود ندارد بنابراین نظریه اعداد نه تنها بازگشتی نیست بلکه حتی عدد گودل جمله های درست اساسا تعریف پذیر نیست.

اما هنوز به خود قضیه گودل یک قدم مانده‌ایم: اگر TAE تمام باشد آنگاه باید راجع به هر گزاره تصمیم گیری کند، اما می‌دانیم که این معادل تصمیم پذیر بودن نظریه اعداد است که ثابت کردیم نظریه اعداد حتی تعریف پذیر هم نیست چه برسد به تصمیم پذیر بودن (اگر یک نظریه اصل پذیر متناهی، تمام باشد آنگاه تصمیم پذیر است). قضیه حتی بدتر از این است،: نه تنها TAE تمام نیست بلکه حتی تصمیم پذیر هم نیست (یعنی نمی توان تعیین کرد که یک گزاره دلخواه قضیه TAE است یا خیر) و حتی بدتر، هیچ نظریه سازگار با TAE  هم تصمیم پذیر نیست! چگونه؟ به دو روش می‌توان این مطلب را ثابت کرد، یکی به اثبات خود گودل نزدیکتر است و دیگری به اثبات قبلی، آن اثبات نزدیک به گودل را بعدا در نظریه مجموعه‌ها می‌گویم اما الان اثبات نزدیک قبلی را استفاده می‌کنم. فرض کنید یک نظریه سازگار با TAE داریم، اجتماع این دو نظریه را T بنامید، این نظریه حتما غیر بازگشتی است مگر این که ناسازگار باشد، فرض کنید بازشگتی باشد یعنی مثل قبل N(v) برقرار باشد اگر و فقط اگر ورودی‌اش عدد گودل جمله‌ای عضو T باشد. در آن صورت B(v) را به عنوان نقیض N در نظر بگیرید بر اساس لم نقطه ثابت جمله‌ای مثل s  (در نظریه اعداد) وجود دارد که s برقرار است اگر و فقط اگر B(#s) برقرار باشد، حالا سوال اینجاست که آیا s عضو T است یا خیر، با توجه به این که می‌دانیم TAE جمله «s اگر و فقط اگر  B(#s)» را نتیجه می‌دهد (همان کار هوشمندانه گودل و لم نقطه ثابت) آنگاه T هم باید  «s اگر و فقط اگر  B(#s)» را نتیجه دهد (چون اجتماع TAE با نظریه‌ای جدید است) در نتیجه اگر s عضو T باشد آنگاه طبق تعریفِ B ، نباید B(#s) برقرار باشد اما طبق لم نقطه ثابت B(#s) برقرار است، برعکس اگر s عضو T  نباشد طبق تعریفِ B باید B(#s) برقرار باشد آنگاه طبق لم نقطه ثابت s هم عضو T است. بنا بر این چنین B یا N وجود ندارد و T و TAE غیر بازگشتی هستند (از همینجا نتیجه می‌شود که همانگوهای شامل پارامتر‌های نظریه اعداد اساسا غیر بازگشتی یا تصمیم ناپذیر است)

اما حالا کاربرد قضیه گودل چیست؟ این همه زور زدیم و حرف زدیم تا تازه فقط درون نظریه اعداد اثباتش کنیم اما قرار است چه کار کند؟ خُب قدم به قدم پیامدهایش را بررسی می‌کنیم:

اول، نظریه مجموعه‌ها را در نظر بگیرید، نظریه مجموعه‌ها نظریه‌ای است که از اصول تسرملو فرانکل و استنتاج‌های روی آن ساخته می‌شود. اصول حساب پئانو را می‌شود درون نظریه مجموعه‌ها بیان کرد، به طور دقیق‌تر می‌توان تعبیری از TAE  به درون قسمتی از نظریه مجموعه‌ها داشت. اما ما می‌دانیم که TAE بازگشتی نیست، بنابر این آن قسمت نظریه مجموعه‌ها ( و در نتیجه کل نظریه مجموعه‌ها) بازگشتی نیست. این غیربازگشتی بودن شامل هر دستگاه اصول موضوعه‌ای می‌شود که بتواند اصول حساب پئانو را در آن بیان کرد. این قضیه به طور کلی برنامه هیلبرت را نابود کرد! هیلبرت به عنوان یک صورتگرا ادعا داشت که ریاضیات چیزی جز دنباله‌ای از نمادها و قواعد استنتاج نیست بنابر این دنبال اصول موضوعه مناسب و کافی بود تا بتواند کل ریاضیات را بر آن سوار کند، گودل نشان داد که اگر ریاضیات را این‌گونه ببینیم همواره با معضل گزاره‌های اثبات‌ناپذیر (یا تصمیم‌ناپذیر) رو به رو خواهیم بود (چون هر چنین بیانی از ریاضی باید دست کم نظریه اعداد را هم بیان کند).

دوم، باز برگردیم به نظریه مجموعه‌ها، اثباتی شبیه به اثبات گودل برای ناتمام بودن نظریه مجموعه‌ها هست که نتیجه بدتری دارد، و آن این که اثبات سازگاری نظریه مجموعه‌ها درون خودش غیرممکن است. فرض کنید رابطه‌ای دوتایی مثل D داریم به این معنی که D(a,c) برقرار است اگر و فقط اگر a عدد گودل فرمول A(v) باشد و c عدد گودل استنتاجی برای  A(a) باشد. (بله، استنتاج‌ها هم خودشان عدد گودل دارند که از عدد گودل عبارت متفاوت است) تصور این که رابطه D بازگشتی است سخت نیست. بنابراین فرمولی مثل d وجود دارد که d(a,c) برقرار است اگر و فقط اگر c عدد گودل استنتاجی برای A(a) باشد (a عدد گودل فرمول A(v) است) حال این فرمول را در نظر بگیرید:

«به ازای هر c داریم که d(a,c) برقرار نیست»

نام این فرمول را B(a) بگذارید، مهم نیست که درستی این فرمول را چطور می‌توان تحقیق کرد مهم اینجاست که این فرمول قابل تعریف است و ورودی آن عدد گودل یک فرمول دیگر است، حالا فرض کنید عدد گودل این فرمول b باشد، آنگاه سوال اینجاست که جمله B(b) قابل اثبات است؟ یا نقیض‌اش؟ اگر نقیض B(b) را بتوان اثبات کرد ، آنگاه طبق تعریف B ، ما نقیض این جمله را اثبات کرده‌ایم که «به ازای هر c داریم که d(a,c) برقرار نیست» ولی نقیض این جمله با توجه به تعریف d یعنی برای B(b) اثباتی وجود دارد :)) اما اگر بتوانیم B(b) را استنتاج کنیم آنگاه طبق تعریف B ما این جمله را اثبات کرده‌ایم که «به ازای هر c، d(b,c) برقرار نیست» ولی برقراری این جمله یعنی نمی‌توان B(b) را ثابت کرد! در کل به شرط سازگاری نظریه TAE (و هر نظریه‌ای که اجتماع آن با این نظریه سازگار باشد) نه می‌توان B(b) را ثابت کرد نه می‌توان نقیض B(b) را ثابت کرد و این همان قضیه گودل به فرم اصلی اثبات آن است که می‌گوید نظریه اعداد TAE و هر نظریه که اجتماع آن با TAE  سازگار باشد، ناتمام است و گزاره‌ای هست که نه نقیض‌اش ثابت می‌شود و نه خودش! حالا بیاید با این قصه‌ها B(b) را درون نظریه مجموعه‌ها تعبیر کنیم، با توجه به ساختار B(b) و نحوه ساختن آن، تعبیر B(b) در نظریه مجموعه‌ها معادل این جمله شهودی است که: «من در نظریه مجموعه‌ها قابل رد و اثبات نیستم» دقت کنید که این جمله درون گیومه دقیقا همان تعبیر B(b)  در نظریه مجموعه‌ها است. اگر بتوانیم تعبیری صوری از سازگاری نظریه مجموعه‌ها داشته باشیم، آنگاه چیزی که ثابت کرده‌ایم این است که اگر نظریه مجموعه‌ها سازگار باشد آنگاه B(b) و دوباره به یاد بیاورید که B(b) یعنی من در نظریه مجموعه‌ها قابل رد و اثبات نیستم. حالا اگر بتوانیم سازگاری نظریه مجموعه‌ها را ثابت کنیم، با توجه به این که ما قبلا ثابت کردیم «اگر نظریه مجموعه‌ها سازگار باشد آنگاه B(b)» انگار که اثباتی برای B(b) عرضه کرده‌ایم اما B(b) یعنی این که من اثباتی ندارم! بنابر این اثبات سازگاری نظریه مجموعه‌ها درون نظریه مجموعه‌ها غیر ممکن است، و حتی بدتر، هر نظام اصول موضوعی که بتواند قضایای اصلی حساب را ثابت کند نمی‌تواند سازگاری خود را اثبات کند. و این شامل برنامه هیلبرت هم می‌شود!

این دو پیامد قضیه گودل، یعنی ناتمامی نظام‌هایی که دست کم به اندازه نظریه اعداد قوی هستند و عدم توانایی اثبات سازگاری آنها درون خودشان، نسبتا مستقیم و سرراست هستند. اما قصه دامنه‌دارتر از این حرف‌هاست. این نظام اصول موضوعی اصلا لازم نیست درون منطق مرتبه اول یا حتی درون ریاضی باشند، کافی است به قدر کافی قوی باشند که بتوان نظریه اعداد را درون آنها تعبیر کرد و قضایای اصلی را اثبات کرد، چنین چیزی به وضوح قابل برگرداندن به TAE است پس تصمیم‌ناپذیری و عدم اثبات سازگاری برای آن هم قابل تعمیم است. قصه حتی از این هم فراتر است، هر فرایند الگوریتم پذیری می‌تواند به درون TAE ترجمه شود (چرا که طبق فرض چرچ هر فرایند محاسبه الگوریتمی مثل ماشین تورینگ یک فرایند بازگشتی است یعنی قابل ترجمه به اعداد گودل و قابل بررسی در TAE است) بنا بر این هر فرایند الگوریتمی چه منطق مرتبه بالا باشد چه ماشین محاسبه، اگر بتواند قضایای اصلی حساب را به درون خودش ترجمه کند آنگاه دچار محدودیت خواهد بود. شاید بهتر باشد بعدا در پستی مفصل راجع به پیامدهای این قضیه صحبت کنم اما تا اینجا این جزئیات اثبات را گذاشتم تا خودم هم بعدا به آن رجوع کنم.

پ.ن چطو شد که ایطو شد: پارسال این موقع که کتاب منطق ریاضی را دست گرفتم تازه ویتگنشتاین و فایرابند را دوباره خوانده بودم و مشتاق بودم بدانم منطق چگونه نسبی است، علاوه بر آن کلا  موضوع فلسفه ریاضی و بنیان منطقی آن برایم جالب بود. تابستان امسال که بخش های اصلی منطق ریاضی را تمام کردم رسیدم به قضیه ناتمامیت گودل، قبلا خیلی راجع به آن شنیده بودم گفتم تا اینجا که آمده ام بگذار این قسمت را هم درست بخوانم تا ببینم درد این قضیه چیست، موضوع تصمیم ناپذیری از طرفی برای من موضوعی شخصی هم بود، خوب یادم می‌آید دژ ریاضی آن موقعی برایم کامل فرو ریخت که فهمیدم گزاره‌های تصمیم ناپذیر وجود دارند. قبل از آن من موجودی پوزیتیویست بودم که ادعا داشت هر چیزی را باید به طور دقیق تعریف کرد و تنها با این تعاریف دقیق می‌توان به نتیجه عقلانی رسید. عقلانیت هم از دیدگاه من چیزی الگوریتم‌وار بود که بعد از تعریف دقیق چیزها دیگر ابهامی در دیگر مسائل باقی نمی‌گذاشت و با کاربست یک عقلانیت کاملا روشمند (که تجلی اعلای آن ریاضی است) می‌توان جهان را «درست» فهمید. در این نگاه هر چه که عقلانیت روشمند را منحرف کند خطا و نابجا تلقی می‌شود، از جمله احساسات. اما با عاشق شدن به علاوه دیدن این گزاره‌های تصمیم ناپذیر، آن عقلانیت روشمند و الگوریتمی برایم فرو ریخت، حالا با دیدن قضیه گودل خیلی دقیق‌تر می‌دانم که چرا این طور عقلانیت چیزی ناکافی و به شدت ناکارامد است (گرچه غلط نیست) به همین خاطر هم از خواندن این قضیه گودل خوشحالم، علی رغم این که واقعا برایم سخت و نفس‌گیر بود.

پ.ن باقی‌مانده: حالا فقط منطق مرتبه دو مانده که درست بخوانم و بعد از بیش از یک سال پرونده منطق ریاضی خواندنم را ببندم تا به باقی زندگی‌ام برسم، کتاب راحت تر بخوانم و خوشحال‌تر باشم! امیدوارم این تخمین که «منطق مرتبه دو سریع تمام می‌شود» مثل تخمین «تصمیم‌ناپذیری سریع تمام می‌شود» نباشد.

منشا جمله انحنا

همیشه سوالی که در کیهان شناسی ذهنم را مشغول می کرد این بود که چرا ربطی بین جمله انحنای جهان و تنظیم بودن سرعت و ماده وجود دارد، چرا عدم تنظیم این دو باعث به وجود آمدن انحنای فضایی می شود؟ چند وقت پیش مسئله ای حل کردم که نوید راه حل را میداد: اگر به یک جهان بدون ماده (چگالی=0) دارای ثابت هابل نگاه کنید چیز مزخرفی خواهید دید: یک جهان خالی اما دارای انحنا و در حال انبساط! اما می توان نشان داد با تبدیل مختصات این متریک همان متریک جهان تخت مینکوفسکی است. بنا بر این شاید بتوان منشا انحنا را در انتخاب سطوح زمان-ثابت جست و جو کرد طوری که چگالی را همیشه یک نواخت نگه دارد.

 

خُب شروع به ضرب و تقسیم کردم، انتظار داشتم در یک جهان نیوتونی که سرعت ها در یک لحظه به صورت هابلی تنظیم شده اند، اگر جمله انرژی وجود داشته باشد چگالی یکنواخت باقی نمی ماند بنا بر این برای یکنواخت باقی ماندن چگالی مجبوریم مختصات را جوری تغییر دهیم که سطوح چگالی-ثابت روی خطوط زمان ثابت قرار بگیرند و این به صورت مصنوعی برای قسمت فضایی انحنا ایجاد می‌کند.  اما چیزی که دیدم این بود: در یک جهان کاملا نیوتونی، حتی با وجود جمله انرژی (ناشی از عدم تنظیم سرعت و ماده) باز هم چگالی یکنواخت باقی می‌ماند و نیازی به انحنای فضایی نیست. شِت!

 

تمام این سوال و جوابها برای من در راستای یافتن این نکته است که انبساط هابلی چگونه کار می‌کند، به نظر انبساط فضا-زمان است اما نیست، دقیقا انبساط ماده است و خُب سوال اینجاست که انبساط ماده چطور باعث می شود مدهای کوانتمی از درون افق به بیرون افق کشیده شوند. الله اعلم!

از تلخی ورودی‌ها، تا بی انگیزگی این روزها

و این حس قدیمی و تلخ و سیاه، حس نفرت دیدن ورودی‌های جدید دانشگاه، این نفرتم معطوف به خودِ ورودی‌ها نیست، یادآوری آن همه خاطره تلخ برایم ناخوشآیند است. ورودی‌های دانشگاه همیشه با کلی سلام و صلوات وارد دانشگاه می‌شوند با معرفی دانشگاه و دانشکده‌ها و غیره و غیره و نهایتا اردوی مشهدی به استقبال‌شان می‌روند که تک به تکشان برای من عقده‌ای شده که در طول این 9 سال، با هر اول مهر تکرار می‌شود.

 

ثبت نام با تاخیر ما باعث شد نه تنها هیچ کدام از این‌ها را نداشته باشیم بلکه حتی اوضاع به مراتب بدتر از یک ثبت نام خشک و خالی شد؛  اردوی مشهد باعث شده بود که دوستان ما هیچ کدام در فرودگاه به استقبال‌مان نیایند و ما با احساس طردشدگی به ایران برگردیم. رسیدنمان به دانشگاه هم که با فحش معاون آموزشی و سر دواندن برای خوابگاه ندادن و پر بودن کلاس‌ها برخورد همچون سگ آموزش دانشکده و ... همراه بود، گم شدن بین ساختمان‌های اداره‌ها و آدم‌هایی که نمی‌شناختیم و کسی هم نبود دانشگاه را برای ما مفرفی کند  و این همه بدبختی و دویدن و تحقیر شدن برای چه؟ برای این که رشته مهندسی بخوانم که نه مباحثش را دوست داشتم و نه مسائلش برایم جذاب بود و نه روش حل مسئله‌اش برایم قابل درک بود و نه حتی دغدغه‌های مالی-اقتصادی‌اش برایم کوچکترین ارزشی داشت، آن هم کنار یک مشت خرخوان وحشی بی شعور که جز بیست شدن در زندگی هدف دیگری نداشتند، گویی آمده بودند به این جهان که راه از پیش تعیین شده‌ی مدرسه-کنکور-دانشگاه خوب-اپلای را بی کم و کاست و بدون کوچکترین پرسش و چون و چرایی طی کنند! بدون این که حتی بتوانند تصور کنند که راه دیگری هم در زندگی هست و تصوری از این جمله مرحوم رابین ویلیامز در فیلم Good Will Hunting نداشتند گه می‌گفت:

There is more to life than a f**king Fields medal

 

و همه این‌ها شد که من امروز نسبت به مراسم ورودی دانشگاه کینه و بغض دارم. این کینه و بغض من حتی فراتر رفته و به کل سیستم بنیاد نخبگان هم کینه و بغض دارم. تمام این سیستم بر مبنای بازتولید یک مشت انسان بله قربان گوی بیست بگیر و باج بده طراحی شده که چون و چرا نکنند و فقط درس بخوانند و همه را دم به دقیقه چک می‌کند که اگر معدلش از فلان مقدار کمتر شد دیگر مقرری ماهانه‌اش قطع می‌شود و چه و چه در مقابل و من که برای چُس مقرری‌شان نخواستم و حتی ذاتا نمی‌توانستم که شاگرد خوبِ بیست بگیر دانشکده باشم، آنچه مطلوب بنیاد نخبگان است.

 

راستش سابق بر این فکر می‌کردم بنیاد نخبگان برای این ساخته شده که از کسانی که استعدادی در نهاد خود دارند حمایت کند و آنها را پرورش دهد که به مملکتشان خدمتی بکنند، به همین خاطر هم با این همه اتفاقات بد و تلخ دانشگاه فکر می‌کردم باید بیاید و من را دریابد اما وقتی آن سیستم دائم‌الرصد را دیدم که دنبال مچگیری است و به قول دکتر میم عضویت دائم در بنیاد نخبگان جای خودش را به رصد دائم فعالیت‌ها می‌دهد فهمیدم که خیر، این جماعت دنبال یک بچه خوب و بله قربان گو بدون کوچکترین تفکر انتقادی هستند، از این سیستم نه متفکر اصیلی بیرون می‌آید و نه تفکر اصیلی، نه علمِ جدیدی زاده می‌شود نه نگاهِ نویی به دنیا تحویل می‌شود، این سیستم فقط آدم‌های دنباله روی حاشیه به علم زَن تحویل و پرورش می‌دهد و در مقابل هر کسی با کوچکترین گرایشی به اصل و ذات خودش را از سیستم حذف می‌کند و همین است که هرگز از این سیستم کار اصیل با تفکری اصیل بیرون نیامده و نخواهد آمد.

 

اینها را که می‌نویسم دارم به این فکر می‌کنم که من این روزها بی انگیزه هستم، یادم می‌آید که خیلی اوقات شبها در دانشگاه کلاسی خالی پیدا می‌کردم و مکانیک لاگرانژی می‌خواندم آن هم با استایل و روش خاص خودم نه آن چه در کتاب‌ها ذکر شده و چه قدر برایم هیجان انگیز بود! و چه قدر آن روزها انگیزه داشتم، چه قدر آن روزها که شش صبح در اتاق را در دانشگاه باز می‌کردم که نظریه میدان کوانتمی بخوانم برایم لذت داشت اما حالا چه؟ حالا به همه آن سیستمی که ازش متنفرم دارم باج می‌دهم که شاید مرا حفظ کند، مقرری چُسی به من بدهد و نهایتا مرا بپذیرد. نه این من نیستم، من موضوع پایان نامه‌ام را به دانشگاه باج دادم، اما اشتباه کردم، اشتباه.

 

پ.ن1: احساسات تلخ و منفی همیشه نشان می‌دهند که چیزی خراب است.

 

پ.ن2: من انکار نمی‌کنم که سیستم بنیاد نخبگان می‌توان دانشمندانی نسبتا خوب و قابل قبول در سطح جهانی تحویل دهد، اما هرگز نمی‌تواند یک متفکر اصیل پرورش دهد، هرگز، هرگز و هرگز.

 

پ.ن3: می‌توانند اعتراض کنند که چون خودِ تو نتوانستی در این سیستم به جایی برسی داری فحش می‌دهی، بله، درست است، اما این ارتباطی به موضوع ندارد، این که بنیاد پخمگان آدم بله قربان گو می‌خواهد تغییر نمی‌کند، مگر شماها که در این سیستم به جایی رسیدید دقیقا چه غلطی کرده‌اید؟

مصیبت: تصور و واقعیت

تصور کردن بلا و مصیبت هیچ وقت با خود مصیبت یکی نیست، حتی تجربه نزدیک آن هم نیست. شما وقتی اولین بار با مصیبتی (مثل مرگ عزیزی یا از دست رفتن چیزی پرارزش) رو به رو می‌شوید در اولین مرحله این پاسخ بدن شما به این مصیبت است، بر افروخته می‌شوید، سیلی از هورمون‌ها در بدنتان به راه می‌افتند، ضربان قلب‌تان بالا می‌رود، سینه‌تان تنگ می‌شود، بغض گلوی شما را می‌فشارد و گریه می‌کنید و در مواردی حتی پاسخ بدن از این هم فراتر می‌رود، اما این‌ها فقط پاسخ بدن شماست و نه بیشتر.

وقتی سعی می‌کنید تصور کنید که اگر مصیبتی به شما وارد شود دقیقا چه می‌شود در بهترین حالت شما به این پاسخ بدنی نزدیک می‌شوید: بغض و گریه و آه و فغان. اما بودن در شرایط مصیبت چیزی بالکل متفاوت است. اولین مرحله قرار گرفتن در شرایط مصیبت دقیقا پاسخ بدن شماست اما حتی در آن شرایط هم هنوز ته قلب خود احساس می‌کنید که راه برگشتی وجود دارد، هنوز احساس می‌کنید عزیزی از دست نرفته و هنوز احساس می‌کنید که چیزی نشده، تا اینجا هم با شرایط تصور مصیبت مشترک هستید اما این تازه شروع ماجراست و به نظرم تفاوت تصور و واقعیت مصیبت دقیقا بعد از همینجاست، بعد از این که از این پاسخ بدنی عبور کردید و نمودهای بیرونی و بدنی سیل هیجان و احساس شروع به فروکش کرد، تازه این مغز شماست که فرصت میابد با مصیبت رو به رو شود: شما دیگر مطمئن هستید که همه چیز تمام شده! دیگر راه برگشتی وجود ندارد، آن که رفته دیگر رفته، تازه مغز شما شروع به ارزیابی وضعیت می‌کند، تازه می‌بیند دقیقا چه اتفاقی افتاده،عواقبش جلوی چشمتان می‌آید و تک تک تفاوت‌های وضعیت قبل و بعد از مصیبت بر شما نمایان می‌شود و این دقیقا بدترین زمان مصیبت است، زمانی که تازه دقیقا می‌فهمید که چه بلایی سرتان آمده است. در هر دو حالت شما می‌توانید پاسخ‌های بدنی مشترکی داشته باشید، اما وقتی مصیبتی را تصور می‌کنید بعد از عبور از پاسخ‌های بدنی شما می‌دانید که اتفاقی نیافتاده و اوضاع عادی می‌شود و آن احساس ته قلب شما مثل نوری کل وجودتان را می‌گیرد و آرام می‌شوید، ولی در مصیبت واقعی اوضاع کاملا برعکس است، تازه می‌فهمید آن کورسوی امید و آن احساس «ته قلب» در واقع صرفا مغزی بوده که فرصت رو به رو شدن با واقعیت را نداشته و نفهمیده بود که چه شده است، و این رو به رو شدن با واقعیت فقط و فقط زمانی اتفاق می‌افتد که شما با تمام وجودتان درون موقعیت مصیبت قرار داشته باشید تا واقعیت را ببینید، و نکته دقیقا اینجاست:

 شما هرگز نمی‌توانید تصور کنید حرم بدون عباس یعنی چه....

پیدا کردن عنوان سخته

می‌دونی؟ زندگی بی‌حساب و کتاب‌تر از اون چیزیه که بهت قول بدم بالاخره همه چیز درست میشه یا یه همچین چیزی، دنیا به حدی ناپایدار و غیر قابل پیشبینیه که شاید بهتر باشه کلا بیخیال بشیم و خیلی بهش دل نبندیم، نمی‌گم تلاش نکنیم، نمی‌گم بشینیم به مسیر حوادث روزگار، نمی‌گم تغییری توی زندگی ندیم، این طوری با مرده چه فرقی داریم؟ اما می‌گم به زندگی و نتیجه و آینده‌اش دل نبندیم، واقعیت اینه که نگرانی ما توی زندگی فقط و فقط وقتی تموم میشه و همه چیز وقتی کاملا درست میشه که همه چیز تموم بشه، موقعی که بهمون می‌گن حاجی، بند و بساطو جمع کن و فیتیلو بکش پایین وقت رفتنه. اون موقع هم دنیا تموم نمیشه، فردای مرگ آقای امام همه ما تو حیرت این بودیم که دنیای بدون مصطفی امام چه شکلیه، حالا داریم می‌بینیم چه شکلیه، یه مقدار تاریک‌تر، یه مقدار بی‌رحمتر، اما هست و می‌گذره، همون طوری که این همه آدم اسیر خاک شدن و گذشته....چند روز پیش داشتم به این استعاره فکر می‌کردم: اسیر خاک!! چیزی که ما برای مرده‌ها به کارش می‌بریم اما فکر می‌کنم اتفاقا قصه رو کاملا برعکس فهمیدیم، واقعیتش اینه که ما زنده‌ها بیشتر از هر کس دیگه‌ای توی این دنیا اسیر خاکیم، اسیر اقتضائات و قواعدش، اسیر علیت و قوانینش، اسیر هوی و هوس‌ها و تقدیراتش، اسیر زمینه و زمانش، اسیر جامعه و جغرافیاش، اسیرِ خاک و گِلی که توش زندانی هستیم، وقتی هم که می‌میریم اتفاقا شروع فرایندی هست که به زور ما رو از این اسارت خاک آزاد کنن، اینه که میگه مُوتُوا قَبْلَ أَنْ تَمُوتُوا ، آزاد بشید قبل از این که به زور آزادتون کنن.

 

نمی‌دونم چرا دست دست می‌کنم برای این تلاش آزادی، شاید چون می‌ترسم، شاید چون هنوز یقین ندارم، شاید چون لیاقتشو ندارم و فقط ادعای گنده حقیقت و حقیقت طلبی رو دارم، نمی‌دونم، تنها چیزی که می‌دونم اینه که دارم دست دست می‌کنم.

 

نمی‌دونم چرا اینا رو نوشتم و انگشتام چرا روی دکمه‌های کی‌بُرد چرخیدن و اینا رو چرا این‌جا می‌نویسم، اما می‌دونم که سبک شدم از این کار.

چکیده راه: نسبی‌گرایی و تقدس

 حس بسیار خوب و عالی از نوشتن این متن داشتم، این متن چکیده و عصاره و نتیجه تمام این سالهای فلسفه‌علم خوانی من است، دوست داشتید بخوانید و نظرتان را بنویسد:

من به ترسناک‌ترین قسمت نسبی‌گرایی رسیده‌ام: منطق هم نسبی است! به قول رفیقی اگر منطق هم نسبی باشد دیگر معلوم نیست چه چیز نسبی نیست! و خُب، واقع به نظر می‌رسد تقریبا همه چیز نسبی است. قبل از این که من را محکوم کنید به حماقت و زیاده‌روی در نسبی‌گرایی و چرت و پرت گفتن اول ادامه نوشته را بخوانید تا هم منظورم را از نسبی‌گرایی بفهمید هم بفهمید چرا به نظر اغلب آدم‌ها نسبی‌گرایی ترسناک یا غیر قابل قبول است و هم چرا به نظر من اشکالی ندارد که همه چیز نسبی باشد.

اغلب اوقات ما آدم‌ها وقتی چیزی (کتاب، دین، آیین، ایده، روش، جمله، شخص، علم، پارادایم ، عقیده و....) را مقدس کنیم اولین کاری که می‌کنیم این است که ناخودآگاه آن را از زمینه‌اش جدا می‌کنیم، زمینه چیست؟ زمینه معمولا (و نه همیشه) همان بافت تاریخی، فرهنگی، اجتماعی، بشری و یا حتی کاربردی است که آن چیز درونش ظهور کرده یا حضور داشته. مثلا مسلمانان عادت دارند قرآن را از زمینه اجتماعی و تاریخی حجاز 1400 سال پیش جدا کنند و بگویند قرآن کتابی برای تمام اعصار و قرون است (حال آن که خودِ همین ادعا چه در احادیث و چه در خودِ قرآن به ندرت دیده می‌شود، لااقل من چنین ادعایی از طرف منابع دست اول دینی را در خاطر ندارم) شیعیان رفتار و واکنش‌های امامان مثل شهادت امام حسین (ع) در برابر بیعت نکردن با یزید را از زمینه تاریخی اجتماعی‌اش جدا کرده و آن را تبدیل به نسخه‌ای می‌کنند مثل فرهنگ مقاومت و شهادت که در تمام زمان‌ها و مکان‌ها باید به آن پایبند بود. علم‌گراها و دانشمندان دوست دارند علم را از زمینه اجتماعی و تاریخی که در آن ظهور کرده جدا کنند و حتی بدتر، روش علمی را از زمینه مسائلی که نوعا روش علمی برای پاسخ به آنها به وجود آمده جدا کنند و ادعا کنند روش علمی روشی عقلانی برای تمام مسائل در تمام زمان‌ها و ملیت‌ها و دین‌هاست (به یاد بیاورید این جمله زیاد تکرار می‌شود که نتایج آزمایش‌های علمی ربطی به ملیت و عقاید اشخاص ندارد، این همان تلاش برای تقدس بخشیدن به روش علمی است در حالی که نتایج آن آزمایش‌ها بیشتر به خاطر آموزشهای قبلی یکسان و شرایط آزمایش یکسان است که ربطی به ملیت ندارند نه به خاطر ماهیت مستقل از زمینه یا مقدس علم)، فمنیست‌ها فمنیسم را از زمینه اجتماعی اقتصادی و تاریخی-جغرافیایی آن جدا می‌کنند و آن را تلاشی می‌دانند برای زدودن نابرابری بین مردان و زنان در هر جامعه‌ای که نابرابری در آن موجود باشد مستقل از بافت فرهنگی و تاریخی جامعه و مستقل از زمان و جغرافیا (ظهور فمنیسم با گسترش فردگرایی و سرمایه داری شدیدا گره خورده است). مارکسیست‌ها افکار مارکس را از زمینه اجتماعی، تاریخی و فلسفی که مارکس در آن زندگی کرده جدا می‌کنند و آن را نسخه‌ای برای تمام بشریت در تمام زمینه‌ها می‌دانند. راست‌گراهای اقتصادی ایده‌های بازار آزاد را از زمینه تاریخی و فرهنگی مبدع آن ایده جدا می‌کنند تا آن را به همه زمان‌ها و مکان‌ها تعمیم دهند، حتی نسبی‌گرایان افراطی (آن‌ها که نسبی‌گرایی را مقدس می‌کنند) نسبی‌گرایی را از زمینه فلسفی، تاریخی و اجتماعی ظهورش جدا می‌کنند تا آن را به عنوان نسخه‌ای برای تمام اعصار و قرون تجویز کنند (زمینه اجتماعی نسبی‌گرایی در واقع ظهور انبوهی از تئوری‌ها و ایده‌های مستقل از هم است که در شرایط خاص خودشان کارامد هستند و به دلیل گستردگی ارتباطات، این ایده‌ها و تئوری‌ها همگی شنیده و اجرا می‌شوند، حیرت حاصل از مواجهه با این انبوه ایده‌ها و پارادایم‌های متقابل و قیاس ناپذیر است که به اندیشه‌های نسبی‌گرایی دامن زده است).

لیست بالا را می‌توان تا هر میزان دلخواهی طولانی کرد، اما الگوی کلی کمابیش ثابت است: امر مقدس از زمینه‌اش مستقل است، برتر از آن است و بالاتر از آن، به همین معنی هم مطلق است یعنی در هر زمینه و زمان و شرایطی که باشد همین است که هست. در هر جامعه‌ای که قدم بگذارید و ذهن هر کسی را کند و کاو کنید از این امور مقدس خواهید یافت* اما به محض این که آنها با این کلام مواجه شوند که «آن چیزِ مقدس شما مطلق نیست یا نسبی است» فورا آن را به «آن چیز مقدس شما غلط است» ترجمه خواهند کرد و با شما به جنگ برخواهند خواست. اما معنی نسبی بودن دقیقا همین وابسته به زمینه بودن است، نه غلط بودن. بگذارید خطوط استدلال را از زمانی که این افکار در من شکل گرفت دنبال کنیم:

اولین جایی که با چنین افکاری مواجه شدم فلسفه علم توماس کوهن بود: او با اتکا به بعضی ایده‌های روانشناسی درباره ادراک انسان، یادآور می‌شود که علم به عمل‌کننده آن (انسان) مربوط و به آن وابسته است، حتی کسانی که خیلی از جنبه‌های فلسفه علم او را قبول ندارند نهایتا می‌پذیرند که این کوهن بود که به ما یادآور شد که دانشمندان انسان هستند نه ماشین‌های تولید نتایج منطقی. وابسته کردن علم به انسان (یعنی زمینه‌اش) می‌تواند از طریق وابسته کردن خود انسان به زمینه تاریخی و فرهنگی و اجتماعی، علم را هم به این زمینه مربوط کند. با این همه یکی از جذاب‌ترین نتایج این فلسفه علم فراهم کردن پایه‌های نقد تجربه‌گرایی دقیقا با اتکا به زمینه آن بود: تجربه‌گراها (اعم از پوزیتویست‌ها و ابطالگراها) مفاهیم تجربی مثل جرم و نیرو و .... را مقدس، عینی و مستقل از زمینه و زمان و نژاد و ملیت در نظر می‌گیرند در حالی که تقریبا تمام مفاهیم تجربی در طی زمان و با بحث و جدل جا افتاده‌اند به همین خاطر به زمینه تاریخی‌شان وابسته‌اند و نمی‌توان آنگونه که تجربه‌گراها ادعا می‌کنند تئوری‌ها را به نحوی کاملا مطمئن بر مبنای آنها ساخت، تئوری‌ها و مفاهیم تجربی در ارتباط با هم در طول زمان ساخته می‌شوند. هر چند بیشتر جنبه‌هایی از حرفهایش که آن موقع برای من جذاب بود خصلت پارادایم گونه ادراک ما است؛ این که ما با عینکی که به آن ایمان میاوریم آموزش می‌بینیم تا دنیا را به گونه‌ای خاص ببینیم و این آموزش‌ها نهایتا داده‌های علوم تجربی را با نظریه می‌آمیزد تا ما نه داده خالص داشته باشیم و نه نظریه خالص. البته او همیشه با این اعتراض رو به رو بوده که عقلانیت علم را به چالش کشیده است اما خودش جواب جالبی می‌دهد: معنای عقلانیت آن چیز سفت و سختی که فکر می‌کنید نیست و همین جمله بود که شاید مرا به سمت نسبی‌گرایی کشاند.

بعد با فایرابند آشنا شدم و این که وقتی نگاه پارادایم‌ها را برمی‌گزینیم و به بیرون از حوزه علم می‌بریم (اساسا در نگاه پارادایمی، فرق علم و غیر از آن مشخص نیست) چاره‌ای جز این نداریم که قبول کنیم همه پارادایم‌ها کما بیش ارزش یکسانی دارند چرا که درستی و غلطی و ارزش و ضد ‌ارزش تنها درون پارادایم معنی دارد به همین دلیل و این که هیچ فراپارادایمی وجود ندارد که درستی و ارزش را خارج از تمام پارادایم‌ها تعریف کند به همین دلیل پارادایم‌ها از دید ناظرهای بیرونی ارزش و درستی یکسان دارند! فایرابند یک لیبرال شدید است و از روی همین لیبرالیسم است که به نسبی‌گرایی روی می‌آورد، او به مدعای خودش شاهد دانشجویانی بود که از محیط و زمینه فرهنگی و جغرافیایی بسیار دور از غرب (مثل قلب آفریقا یا آسیا) به آمریکا آورده شده بودند تا عقلانیت ( ِ غربی) را آموزش ببینند اما فایرابند با دیدن آوارگی و حیرت آنها از خود می‌پرسد که «ما کی هستیم که به این‌ها عقلانیت را آموزش دهیم؟ چرا عقلانیت ما برتر از آن چیزی است که این دانشجویان بخت برگشته از آن فرهنگ آمده‌اند؟ چه کسی چنین تضمینی داده که ما عقلانی و عینی هستیم و آنها نه؟» آشنایی فایرابند به روشهای مردم‌شناسی نیز در این بین بی‌تاثیر نبوده، روش مردم‌شناسان در شناخت یک فرهنگ متفاوت از فرهنگ غربی این است که با آن فرهنگ زندگی کنند و مناسک و آیین‌های آنها را انجام دهند، در این حین مردم‌شناسان متوجه می‌شوند که  نباید دلیل و منطق انجام این مناسک را نعل به نعل به دلیل و منطقی به ظاهر مشابه در فرهنگ غربی ترجمه کرد، هر مناسکی که در جامعه وجود دارد در کنار دیگر مناسک و آیین‌ها و در بستر فرهنگی همان جامعه معنی دارد و لزومی ندارد که معنی مثلا مناسک دود کردن گیاهی خاص را شبیه معنی ضد عفونی کردن یک اتاق بدانیم، آن یک چیز است و این یک چیز دیگر، بنا بر این و با اتکا به این جدایی عمیق فرهنگ‌ها هیچ راهی وجود ندارد که عقلانیت غربی را برای همه اثبات کنیم، بنا بر این عقلانیت غربی و علم تبدیل می‌شود به یکی از انواع فرهنگ‌ها و سنت‌ها در کنار سایر سنت‌ها مثل جادوگری و .... این سرآغاز اندیشه‌های نسبی‌گرایانه‌ای بود که فایرابند در دل من کاشت. او که علم و جادوگری را هم ارز می‌دید و منطق هم از نظرش نسبی بود. این نسبی‌گرایی آنقدر در نظرم عجیب اما منطقی بود که در پی ریشه‌هایش رفتم سراغ ویتگنشتاین و حالا نوبت ویتنگشتاین بود.

ویتگنشتاین (که قبلا در باره او فراوان نوشته‌ام) در این بین بیشترین تاثیر را در عمیق شدن این نسبی‌گرایی داشت و عمده نگاه‌ها را مدیون او هستم، او در فلسفه اولش سعی می‌کند این ایده را صورت بندی کند که نهایتا همه جملات در تمام زبان‌ها زیربنای منطقی واحدی دارند و برگرداندن آنها به آن صورت زیربنایی واحد همه مشکلات فلسفه را حل می‌کند اما بعدا علیه این ایده خودش می‌شورد و منکر وجود یک منطق زیربنایی واحد می‌شود و می‌گوید ما بازی‌های زبانی بسیار متعددی داریم که هر کدام منطق منحصر به فرد خودشان را دارند که در ارتباط با نحوه معیشت خاص مربوط به آن بازی زبانی ساخته می‌شوند. اگر علم را (و هر عقیده و پارادایم دیگری را) نوعی بازی زبانی بدانیم، آن نیز در ارتباط با طبیعت به نحو خاصی ساخته و تدوین شده و یک ارتباط پیچیده و دو سویه بین مفاهیم و منطق از یک سو و تجربه و مشاهده از سوی دیگر وجود داشت تا نهایتا علم شکل بگیرد. پس بازی‌های زبانی در ارتباط با موضوع خاصی که آن بازی راجع به آن است ساخته می‌شود و هیچ لزومی برای وجود ترجمه بین بازی‌های زبانی نیست و شاید خیلی از بازی‌ها نتوانند بین هم دیالوگ برقرار کنند. اینجا همان جایی است که فایرابند و کوهن و و ویتگنشتاین و مردمشناسان به هم می‌رسند: همان طور که مناسک و آیین‌ها را باید در بستر فرهنگی‌شان فهمید و نباید برای فهمشان آنها را وارد بستر فرهنگی اجتماعی خودمان بکنیم، همان طور هم هر جمله مربوط به یک بازی زبانی را باید در همان بازی زبانی معنی کنیم، و همان طور نیز هر جمله یک پارادایم علمی را باید درون همان پارادایم معنی کنیم، جمله ای در پارادایم علمی ارسطویی، درون پارادایم مکانیک نیوتونی کاملا بی‌معنی جلوه خواهد کرد و جملات مکانیک کوانتمی احتمالا درون پارادایم مکانیک نسبیتی نامفهوم جلوه خواهد کرد (و همین ترجمه ناپذیری‌هاست که باعث میشود رویای «بهترین» بودن علم یا هر سنت دیگری نسبت به دیگر سنت‌ها به طور کامل بر باد شود!) مثال جالبی در این زمینه وجود دارد: «بهترین دفاع حمله است» در بازی شطرنج یک معنی دارد و در بازی فوتبال یک معنی دیگر و لزوما ترجمه پذیر به هم نیستند.

نهایتا با چیزهایی که از ویتگنشتاین آموختم و آن یادآوری از فایرابند که منطق هم نسبی است رفتم سراغ منطق ریاضی به این امید که ببینم شاید منطق نسبی نباشد، اما بود، دست کم به معنی وابسته به زمینه بودنش نسبی بود، منطق ریاضی در ارتباط با ریاضی ساخته شده بود و آشکارا حین خواندنش احساس می‌کردم که قیافه این منطق برای توصیف اوضاع ریاضی ساخته شده نه همه موضوعات. حتی درون خود منطق ریاضی موضوعی جالب توجه وجود دارد: عبارت‌های ریاضی در منطق ریاضی چیزی جز دنباله‌ای از نماد‌ها نیستند، این دنباله از نماد‌ها را باید معنی کرد و معنی کردن این دنباله از نمادها کاملا به مدل وابسته است، مدل در منطق ریاضی تعریفی دقیق دارد و ساختاری ریاضی است که قرار است نمادها را درون آن مدل معنی کنیم، معنی کردن عبارات ریاضی تنها با مدل ممکن است چه برسد به درستی و غلطی آنها بنا بر این حتی در موضوعی دقیق و ساده مثل منطق ریاضی، حتی معنی گزاره‌ها به زمینه‌شان وابسته است چه برسد درستی و غلطی آنها! از اینها گذشته موضوع ضعف منطق مرتبه اول در بیان بعضی مفاهیم و بدرفتار بودن منطق مرتبه دوم و بالاتر (که منطق رسمی ریاضیات است) در کنار وجود منطق‌های متفاوت (مثل منطق شهودگرایی) این ایده را در من تقویت کرد که نهایتا هیچ صورت بندی دقیق و کاملا صوری و مکانیکی و همه پذیر از منطق را نمی‌توان ساخت و هیچ مرز مشخصی بین منطق و ریاضی (منطق و هر چیزی) وجود ندارد، منطق واقعا وابسته به زمینه‌اش است و فقط در کنار مفاهیمی که راجع به آن حرف می‌زند معنی پیدا می‌کند و فقط با مفاهیمش می‌توان از آن استفاده کرد نه به صورت تنها، منطق خالی وجود ندارد و مفید هم نیست و مفاهیم خالی هم وجود ندارد آنها چیزهایی کاملا وابسته به هم هستند. آن منطق بدیهی p آنگاه q هم آنقدر ساده و بدیهی است که اصلا قدرت بیان بسیاری از مفاهیم را ندارد (هر چند رد ضعیفی از زمینه را می‌توان در همان منطق ساده جمله‌ها نیز دید). نکته مهم دیگری که از منطق ریاضی آموختم این است که با توجه به تعریف «درست» درون منطق، نسبی بودن منطق (یا هر چیز دیگری مثل پارادایم) به معنی گاها غلط و گاها درست بودن آن نیست، بلکه بیشتر به معنی وابسته به زمینه بودن آن است.

با توجه به این خطوط استدلال آنچه تا کنون من تحت عنوان «نسبی‌گرایی» به آن باور دارم این است که باید هر چیزی را در زمینه‌اش فهمید، این نسبی گرایی هم خود نسبی است به این معنی که من فعلا در این زمینه فرهنگی و روششناختی و فلسفی که درونش گرفتار هستیم به نسبی‌گرایی متعهدم نه در تمام زمانها و اعصار، به عبارتی چیزهایی مثل «هیچ اثباتی وجود ندارد» یا «هیچ حقیقتی وجود ندارد» را از من نمی‌شنوید چرا که این خود مطلق کردن نسبی‌گرایی است، این همان چیزی است که نسبی‌گرایی اساسا بر نقد آن برخاسته، این همان اشتباهی هم هست که ویتگنشتاین مرتکب می‌شود به این معنی که خصلت بازی‌بودن زبان را به کل زبان تعمیم می‌دهد و با توجه به این که خودش حرفهایش را درون زبان می‌زند اگر زبان بازی باشد اعتبار حرفهایش را در کدام بازی باید فهمید؟ سوال مشابهی هست که اگر تمام شناخت ما پارادایم است خودِ نگاه پارادایمی هم یک پارادایم است، پس اعتبارش چیست؟ من فکر می‌کنم نباید تمام شناخت را پارادایمی فهمید، شناخت زمینه در شناخت پاردایم‌ها مفید است. نسبی‌گرایی که من آن را پذیرفته‌ام قرار است ما را متواضع کند، متواضع نسبت به این حرص و رویای قدیمی که بشر می‌تواند با عقل و روش‌های عقلانی گزاره‌هایی مستقل از زمینه و زمان و مکان بیابد (دست کشیدن از این رویاست که نسبی‌گرایی را ترسناک می‌کند)، البته من منکر وجود چنین گزاره‌ها یا مفاهیمی نیستم ( و بر اساس این نسبی‌گراییِ نسبی نباید هم باشم) اما می‌گویم چنین چیزی دست کم تا کنون و دست کم با روش‌هایی که ما تا الان برای شناخت دنیا ساخته و پرداخته‌ایم به دست نیامده. تمثیل فیل مولانا قیاس مفیدی را فراهم می‌کند: فیلی در اتاقی تاریک قرار دارد و عده‌ای که تا کنون فیل ندیده‌اند رفته‌اند تا ببینند فیل چیست؟ یکی دستش به پای فیل می‌خورد و می‌گوید فیل یک ستون است یکی دستش به گوشش می‌خورد و می‌گوید فیل یک بادبزن است و .... خلاصه هر کس قسمتی از فیل را که لمس کرده فیل را شبیه همان می‌یابد. نسبی‌گرای مطلق همچنان در رویای یافتن گزاره‌ای فرازمانی و فرامکانی می‌گوید که مفهوم مطلقی از فیل وجود ندارد (یک جوری شبیه این که فیل اصلا وجود ندارد) یا در حالت خیلی محتاطانه تر می‌گوید نمی‌توان به هیچ وجه به فیل دسترسی داشت. اما من تا حدی با مولانا همدل هستم که می‌گوید «در کف هرکس اگر شمعی بدی، اختلاف از گفتشان بیرون شدی» گرچه هنوز دقیق نمی‌دانم این «شمع» که قرار است اختلاف را از گفتمان بیرون کند چیست، اما فعلا معتقدم فهم چیزها به همراه فهم زمانه و زمینه آنها ما را به شناخت هر چه دقیق‌تر آنها رهنمون می‌کند، به این معنی شناخت اسلام و زمینه آن به ما کمک می‌کند بدانیم که حکم اسلام در این زمینه و زمانه امروز چگونه است، شناخت علم و زمینه آن به ما کمک می‌کند که روشهای علمی را به مسائل دیگری تعمیم دهیم و .... . نسبی‌گرایی که من از فایرابند آموختم مرا مجاب می‌کند به این که خودم را به هیچ وجه در روش‌های شناخت و تذکارهای فلسفی-منطقی وابسته به زمان و مکان محدود نکنم، نه به پارادایم نه به هیچ چیز دیگر، تنها چیزی که ثابت است این است که هیچ چیز ثابت نیست!

پ.ن0: احساس می‌کنم این بحث زمینه همان چیزی است که به دنبال آن هستم، یعنی این که پارادایم‌ها یا بازی‌های زبانی چطور ساخته می‌شوند، هنوز درست مطمئن نیستم اما احساس می‌کنم خیلی از مشکلاتی که قبلا با نسبی‌گرایی داشتم را حل می‌کند، بازخوانی دانسته‌هایم از فلسفه علم با این توصیف زمینه برایم هیجان‌انگیز بود.

پ.ن1: این صورت بندی از نسبی‌گرایی قبل از ورود به دنیای کواین به نظرم لازم بود. شاید کواین هم به من کمک کند که چطور با این نسبی‌گرایی کنار بیایم. بچه ها در تولد سورپرایزی عظیمی که چند روز پیش برایم گرفتند کتاب «ویتگنشتاین و کواین» را خریدند. باید جالب باشد.

پ.ن2: به نظرم در تفکر شیعه احکام کاملا نسبی و وابسته به زمینه و زمان هستند، نفس وجود فقیه و فقاهت و این که رجوع به فقیه از دنیا رفته صحیح نیست، برای من به همین معنی است.

پ.ن3: یک روش جالبی برای کوبیدن در دعوای علم و دین وجود دارد که علمی‌ها انجام می‌دهند: شما اگر مسیحی هستید یا بودایی یا مسلمان صرفا به این خاطر است که در آن محیط به دنیا آمده‌اید! با ادبیاتی که در بالا شرح دادم به طرز جالبی می‌توان این اعتراض را صورت بندی کرد: دین شما وابسته به زمینه جغرافیایی شماست، بنا بر این غلط است! اما خُب، تمام تلاش من در متن بالا همین بود که نشان دهم تقریبا همه چیز به زمینه وابسته است، بنا بر این اگر وابسته به زمینه بودن ضعف دین است، ضعف علم هم هست، مگر این که کلا قبول کنید ضعف نیست، آن طور که من قبول می‌کنم.

*شاید برای بیشتر آدم‌ها دین یکی از آن امور مقدس باشد اما قبول ندارم که «خدا» برای بیشتر آدم‌ها آن امر مقدس است!! آدم‌ها معمولا برای دین و آیین و روش‌ها و مناسک و رسومات تقدس بیشتری قائل هستند تا برای خدا، چه این که بیشتر آدم‌ها اساسا خدا را نفهمیده‌اند که بخواهد برایشان مقدس باشد یا نباشد، فاجعه صفین هم در واقع به خاطر همین مقدس کردن‌ها واقع شد.

مسئله مونتی‌هال یا دو بز و یک ماشین+کامنت منطق ریاضی!

اگر فیلم 21 را دیده باشید احتمالا این مسئله را هم شنیده‌اید:

در یک مسابقه شما باید از بین سه در یکی را انتخاب کنید، پشت یکی از درها یک ماشین گران‌قیمت قرار دارد و پشت دو در دیگر دو بز قرار داده شده (البته با توجه به قیمت‌های امروزی بُز خودش جایزه‌است :)) ) مجری مسابقه می‌داند پشت هر در چیست. فرض کنید مثلا شما در 1 را انتخاب می‌کنید، مجری برنامه در شماره 3 را باز می‌کند و نشان می‌دهد که پشت در شماره 3 بز بوده، حالا از شما می‌پرسد: آیا حاضرید در 1 را که ابتدا انتخاب کرده بودید با در 2 عوض کنید؟ سوال اصلی این است که آیا احتمال حضور ماشین پشت در 2 بیشتر از 1 است یا نه؟

شهود اولیه ما می‌گوید که بعد از حذف در شماره 3 دو گزینه وجود دارد: یا ماشین پشت در شماره 1 است یا در شماره 2 و احتمال هر کدام مساوی است و پنجاه درصد است بنا بر این قوانین احتمال به شما کمکی نمی‌کند که بدانید ماشین پشت کدام در قرار دارد. اما در واقع جواب مسئله همان طور که استیو اسِلوین اولین بار مطرح کرده این است که احتمال وجود ماشین پشت در شماره 2 دو برابر بیشتر از انتخاب اول شما یعنی در شماره 1 است بنا بر این باید انتخاب‌تان را عوض کنید!

اما چرا؟ جواب مسئله در واقع این گونه است، فرض کنید ماشین از ابتدا پشت در شماره 2 قرار دارد، سه حالت با احتمال مساوی وجود دارد:

1. . شما در 1 را انتخاب می‌کنید و مجری در 3 را پوچ می‌کند (در این حالت باید انتخاب‌تان را عوض کنید)
   
2.  شما در 3 را انتخاب می‌کنید و مجری در 1 را پوچ می‌کند (در این حالت هم باید انتخاب‌تان را عوض کنید)
3.   شما در 2 را انتخاب می‌کنید و مجری در 1 یا 3 را پوچ می‌کند (در این حالت نباید انتخاب‌تان را عوض کنید)
   

می‌بینید که از این سه حالت با احتمال مساوی، فقط یک حالت وجود دارد که در آن نباید انتخابتان را عوض کنید و در دو حالت دیگر باید عوض کنید بنا بر این ماشین به احتمال 66 درصد پشت دری است که انتخاب نکرده‌اید!

اگر همچنان به این جواب مشکوک هستید نگران نباشید، معروف است که حتی ریاضی‌دان برجسته، پل اردوش، هم قبل از این که شبیه‌سازی کامپیوتری را ببیند متقاعد نشد که چنین جوابی صحیح است! اما دقیقا تلاش برای شبیه سازی این مسئله شما را قانع می‌کند که این جواب درست است: فرض کنید می‌خواهید این بازی را شبیه سازی کنید، دو بازی‌کن وجود دارد: یکی مردی است با اعتقاد «حرف مرد یکیه» بنا بر این هرگز انتخاب اول خود را عوض نمی‌کند. دیگری زنی است که به این جواب ایمان آورده و انتخاب خود را همیشه عوض می‌کند. بازی دو قسمت دارد: 1: بازی‌کن دری را انتخاب می‌کند. 2: مجری دری که پوچ بوده را باز می‌کند (همیشه می‌تواند این کار را بکند). سپس مرد انتخابش را عوض نمی‌کند ولی زن عوض می‌کند.

اگر این ادعا صحیح باشد که احتمال هر دو گزینه مساوی است بنا بر این با تکرار بازی به دفعات زیاد تعداد دفعاتی که مرد برنده شده با تعداد دفعاتی که زن برنده شده برابر است، اما این ادعا به وضوح درست نیست: شما همیشه در انتخاب اول یک سوم یا 33 درصد احتمال دارد که ماشین را انتخاب کنید، با توجه به این که مرد حرفش را عوض نمی‌کند (حتی بعد از باز شدن دری دیگر) بنا بر این باز شدن دری دیگر تفاوتی در وضعیت مرد ایجاد نمی‌کند و مرد همیشه به احتمال 33 درصد برنده خواهد شد، اما خانم با توجه به جواب قبلی 66 درصد احتمال برنده شدن دارد.

اما سوال اول هنوز سر جایش است: اشکال استدلال اول که منجر به نتیجه 50 درصد می‌شد دقیقا کجاست؟ شاید بشود گفت ایراد اینجاست که ما مسئله را بعد از پوچ شدن یکی از گزینه‌ها دوباره بازتعریف می‌کنیم و تبدیل می‌کنیم به یک سوال دو گزینه‌ای با احتمال برابر و فراموش می‌کنیم که مجری در هر صورت مجبور است دری را باز کند، اگر شما قبل از انتخابتان از مجری بخواهید دری را باز کند آن وقت حتما احتمال انتخاب شما 50 درصد است اما بعد از این که شما انتخاب می‌کنید مجری مجبور است دری را باز کند که پشت آن ماشین نیست و 66 درصد احتمال دارد که شما دری اشتباه را انتخاب کنید بنابر این 66 درصد مواقع مجری هیچ آزادی برای انتخاب ندارد و باید دری مشخص را پوچ کند که ماشین پشت آن نیست بنا بر این 66 درصد مواقع مجری با زبان بی‌زبانی به شما می‌گوید دری دیگر را انتخاب کنید! اما 33 درصد مواقع هم شما درست انتخاب کرده‌اید و مجری آزادی کاملی دارد که یکی از گزینه‌های پوچ را باز کند. به زبان نظریه احتمال شما نباید احتمال شرطی را این گونه مطرح کنید: «احتمال حضور ماشین بین در 1 و 2 اگر در 3 پوچ باشد» چون در 3 به صورت تصادفی پوچ نشده بلکه بعد از انتخاب شما پوچ شده (یعنی مجری در پوچ کردن آزادی ندارد و انتخاب شما در این که کدام در را پوچ کند نقش بازی می‌کند، بنا بر این احتمال حذف شده توسط مجری به طور یکسان بین انتخاب شما و انتخاب دیگر پخش نمی‌شود چون شما با انتخاب اول خود تقارن گزینه‌ها را به هم زده‌اید)

واقعیت این است که از یک دیدگاه این مسئله شبیه پارادکس آشیل و لاکپشت است! در این مورد هم به سختی می‌توان گفت اشتباه استدلال کجاست، این نکته است که نشان می‌دهد استدلال‌های صرفا منطقی وقتی شهود کافی روی مسئله وجود ندارد و زبان مناسبی برای توصیف مسئله انتخاب نشده می‌توانند گمراه کننده باشند. این وضعیت در منطق ریاضی نظیر جالبی دارد: بسته به زبان توصیفی شما، می‌توانید چیزهای یکسانی را متفاوت ببینید: برای مثال در فرازبانی که اثبات‌های منطق ریاضی انجام می‌شود، نظریه مجموعه‌ها مدل شمارا دارد در حالی که درون زبان نظریه مجموعه‌ها، اثبات می‌شود که مجموعه ناشمارا حتما وجود دارد: به عبارتی اعداد اصلی یا کاردینال (شمارایی یا ناشمارایی) مفاهیمی هستند که می‌توانند با تغییر زبان عوض شوند: یک مجموعه با یک زبان شمارا و در زبانی دیگر ناشماراست! یا حتی نظریه اعداد طبیعی در یک زبان کامل است به هر سوالی پاسخ می‌دهد و در زبانی دیگر ناتمام است و گزاره‌های درست تصمیم‌ناپذیر یا اثبات ناپذیر دارد.

اَکنالجمِنت: ویت اِسپشیال تَنکث تو سارا که جواب این مسئله مونتی هال را وقتی خودم درست فهمیدم که تلاش کردم برای سارا توضیح بدهم.

پ.ن منطق ریاضی: شاید بگویید ربط این موضوع به منطق ریاضی زوری بود و ربطی نداشت: در این مسئله ما پیشفرض پنهانی داشتیم و اما موضوع زبان در منطق ریاضی این طور بیشتر مربوط به نمادهایی که انتخاب می‌کنیم است، واقعیت این است که کمی راست می‌گویید اما در واقع تفاوت زبان‌ها خیلی اوقات در همین پیشفرضهای پنهان است.

پ.ن اینستاگرام: آیا این‌ها را استوری کنم؟ چرا که نه؟ چرا که بله؟ دفعه پیش یک مجموعه استوری رفتم راجع به اساطیر هفته که دروغ چرا، از واکنش مثبت ملت خوشم آمد! حالا هم از خوشی آن واکنش قبلی دارم فکر می‌کنم که استوری کنم یا نه، قطعا می‌توانم بهانه جور کنم که بله ملت آگاهی‌شان بالا می‌رود و چه و چه اما به نظر می‌رسد ته دلم اثر همان خوشی قبلی است که وادارم می‌کند اینها را استوری کنم. چند وقت پیش توی اینتساگرام بحث این را راه انداختم که هویت ما با نیمچه شوآف‌هایی که در اینستاگرام می‌کنیم شکل می‌گیرد و آن موضوع در ذهنم ریشه دواند که حواسم باشد چطور هویت خودم را شکل می‌دهم.

منطق ریاضی 6 : نظریه مدل

پیش نویس: اگر به فلسفه ریاضی علاقه مند باشید ممکن است پاراگراف اول برایتان جالب باشد.

نظریه مدل هیجان‌انگیز تر از چیزی بود که فکر می‌کردم، اصلا فلسفه کل منطق ریاضی را در این نظریه مدل فهمیدم، نظریه مدل در واقع قلب تپنده و اصل دلیل روی آوردن آدم‌ها به سمت منطق مرتبه اول یا منطق ریاضی است: ریاضی در واقع چیزی جز مدل‌ها نیست، مثلا ما از روی دنیا یک مدل از اعداد طبیعی می‌سازیم که در آن یک لیست از اعداد طبیعی داریم (0 و 1 و ...) و توابع تالی، جمع، ضرب و ترتیب معنی دارند و تعریف می‌شوند، حالا شما می‌توانید هر سوالی را راجع به مدل بپرسید، مثلا می‌توانید این سوال را بپرسید که «آیا همه اعدادی که جمع ارقام آن در مبنای 10 بر 3 بخش پذیر باشد، بر 3 بخش‌پذیر است؟» شما علی‌الاصول با نگاه کردن به مدل می‌توانید به این سوال پاسخ دهید، اما با توجه به نامتناهی بودن مدل، در بهترین حالت با کامپیوترهای امروزی هم شما نمی‌توانید حتی بخش قابل توجهی از این مدل را چک کنید (چون مدل نامتناهی است شما همیشه فقط صفر درصد مدل را چک کرده اید :))) ) پس این روش خوبی برای بررسی درستی این جمله‌ها نیست، اینجاست که نقش استنتاج به میان می‌آید: خاصیت‌های مشخص از اعداد طبیعی را انتزاع یا تجرید کنید که همه اعداد طبیعی در آن مشترک باشند (این همان اصول موضوع است)، تعدادی قواعد استنتاج تهیه کنید (این قسمت منطقی ماجرا است) بعد سعی کنید با این خاصیت‌ها و قواعد استنتاج نشان دهید که همه اعداد یک خاصیت مشخص دیگر را دارند. اما دو سوال بسیار مهم وجود دارد: 1. آیا هر استنتاجی را که انجام دهم، نتیجه‌اش لزوما در مدل هم برقرار است؟ این همان قضیه درستی است و جوابِ آن مثبت است (با قرارداد کردن قواعد استنتاج و تعریف درستی از روی آنها این قضیه چندان عجیب نیست، در واقع قواعد منطق اصولا چیزی جز همان‌گویی نیست) 2. آیا هر چیز درستی را می‌توان استنتاج کرد؟ (در پرسیدن این سوال باید مواظب بود، منظور این است که هر «همیشه درست» یا «همان‌گو» را می‌توان استنتاج کرد، بالاخره شما برای استنتاج‌های روی مدل به اصول موضوعه نیاز دارید، اما نکته جالب اینجاست که هر استنتاجی از اصول موضوعه با استنتاج یک همانگو معادل است) این هم قضیه تمامیت است و دیدیم که پاسخ آن به طرز عجیبی مثبت است. با داشتن قضیه درستی و تمامیت باید تصور کنیم که منطق مرتبه اول به علاوه انتخاب اصول موضوع مناسب برای بررسی کل ریاضیات کافی است، (هر استنتاجی درست است و هر درستی استنتاج پذیر، پس همه چیز تمام است! کل ریاضی میشود منطق مرتبه اول به علاوه اصول موضوعه) نظریه مدل بررسی همین ایده است اما در حین همین بررسی متوجه خواهیم شد که اوضاع پیچیده‌تر از چیزی است که تصور می‌کنیم. سوالی که می‌توان پرسید این است که آیا نظریه‌هایی که بر مبنای خواصی مشخص از یک مدل (اصول موضوعی مشخص) تهیه می‌شوند، اگر صرفا از روی نظریه بخواهیم مدل را بازسازی کنیم باز به همان مدل اولی که خواص را از آن گرفته بودیم میرسیم؟ به عبارتی نظریه‌ها مدل‌ها را یکتا تعیین می‌کنند یا به دیگر بیان آیا ما تمام خواص مدل را می‌توانیم در منطق مرتبه اول بیان کنیم؟ این سوال مهمی است که عمده جذابیت نظریه مدل برای من بود. مهمترین اتفاقی که در نظریه مدل می‌افتد این است که اولا خواهیم دید بعضی مفاهیم مهم مثل متناهی بودن مدل‌ها وجود دارد که منطق مرتبه اول از بیان آن عاجز است، ثانیا نه تنها مدل (مخصوصا مدل‌های نامتناهی) ابدا به صورت یکتا توسط  اصول موضوعه‌شان تعیین نمی‌شوند (قضایای اندازه مدل لوون هایم اسکولم) بلکه قضایای ناتمامیت وجود دارد: به عبارتی هر لیستی از خواص مثلا اعداد طبیعی تهیه کنیم (یعنی اصول موضوعه) باز خاصیتی هست که نمی‌توانیم با خواص قبلی راجع به آن اظهار نظر کنیم، یا جمله‌ای هست که نه می‌توان آن را اثبات کرد نه نقیضش را به دست آورد. حال برویم سراغ نظریه مدل، یک بار از کتاب اردشیر خواندم حالا دوباره از کتاب اندرتون می‌خوانم و می‌نویسم:

مهمترین ابزار نظریه مدل قضیه لون‌هایم-اسکولم است به علاوه قضیه فشردگی. قضیه لوون هایم اسکولم می‌گوید اگر مجموعه‌ای از جمله‌ها یک مدل نامتناهی داشته باشند آنگاه می‌توان مدل‌هایی به اندازه دلخواه بزرگ (منظور کاردینال مدل‌هاست) داشت و همچنین مدل‌های به اندازه دلخواه کوچک، ولی نه کوچکتر از اندازه زبان، منظور از اندازه زبان کاردینال همه جمله‌ها و عباراتی است که می‌توان در زبان نوشت (زبانی با نمادهای محدود کاردینال شمارا دارد). نکته اعجاب انگیز این قضیه تنازع اسکولم است: زبان نظریه مجموعه‌ها تنها یک رابطه دو موضعی دارد (عضویت) بنا بر این شمارا است، بنا بر قضیه لون‌هایم-اسکولم این نظریه دست کم یک مدل شمارا دارد، اما شما می‌توانید درون نظریه مجموعه‌ها نشان دهید که مجموعه‌ی نا شمارا وجود دارد و چون هر کدام از اعضای این مجموعه نا شمارا درون جهانِ مدل هم هست پس کل مدل هم نا شمارا است! اما تناقضی در کار نیست، ما از بیرون نظریه مجموعه‌ها را به واسطه زبانِ مرتبه اول شمارا نگاه می‌کنیم بنا بر این تعداد شمارا عضو برای ما مهم است، در حالی که آن مجموعه ناشمارای درون مدل صرفا یعنی که درون مدل جمله «وجود دارد تابع f که مجموعه A را می‌شمارد» صحیح نیست (مجموعه A همان مجموعه ناشمارا است) در حالی که ما از بیرون و در فرازبانی که اثباتهای منطق مرتبه اول را در آن ارائه می‌کنیم می‌توانیم علی‌الاصول چنین تابعی داشته باشیم. یکی دیگر از جذابیت‌های این قضیه وجود مدل شمارا برای اعداد حقیقی ناشمارا است! باز هم داستان به این برمی‌گردد که همه اعداد تعریف‌پذیر حقیقی شمارا هستند (در حالی که تعداد ناشمارا اعداد تعریف‌ناپذیر وجود دارد). (این تنازع از نظر من در وهله اول به این برمی‌گردد که در ساخت منطق مرتبه اول از نظریه مجموعه‌هایی استفاده می‌کنیم که قرار است با خود منطق مرتبه اول در باره‌اش حرف بزنیم، و خُب این واضحا دور دارد و همان طور که دیدیم موجب اتفاقات مسخره‌ای مثل همین تنازع می‌شود). این تنازع صرفا یک شروع هیجان انگیز است، اما صبر کنید.

معمول است که مدل‌ها را رده بندی کنیم، مثلا رده مدل‌های تک عضوی، رده مدل‌های نامتناهی، رده مدل‌های متناهی رده مدل‌هایی که جمله‌ای مشخص در آن مدلها صادق است و .... دقت کنید این رده‌ها مجموعه نیستند، (به عبارتی بزرگتر از آنند که مجموعه باشند، مثلا همه گروه‌های صادق در اصول موضوع نظریه گروه‌ها، رده گروه‌ها را تشکیل می‌دهند اما نمی‌توان از این رده مجموعه‌ی همه گروه‌ها را ساخت، اصول موضوع نظریه مجموعه‌ها چنین اجازه‌ای نمی‌دهد) در این میان دو رده مهم وجود دارد: رده مدل‌های اصل پذیر: اگر برای رده‌ای از مدل‌ها، مجموعه‌ای سازگار از جمله‌ها وجود داشته باشد که در تمام آن مدل‌ها صادق باشد، آنگاه آن رده را رده مدل‌های اصل پذیر گوییم. اگر تعداد این جمله‌ها متناهی باشد آنگاه آن رده از مدل‌ها را اصل‌پذیر متناهی گوییم. بنا بر این رده گروه‌ها یک رده اصل‌پذیر متناهی است (یعنی تعدادی متناهی اصل موضوعه دارد)

حال با این تعریف می‌توان سوالاتی جالب پرسید: آیا رده مدل‌های متناهی اصل پذیر است؟ چرا این سوال جالب است؟ اگر پاسخ به این سوال منفی باشد یعنی در منطق مرتبه اول نمی‌توان «متناهی بودن مدل» را بیان کرد. برای مدل‌های خاصی از اعداد شاید بشود اما در کل برای همه مدل‌ها مفهوم متناهی بودن مفهوم مرتبه اول نیست چون جمله‌ای مثل A وجود ندارد که مضمون آن «این مدل متناهی است» باشد و در تمام مدل‌های متناهی صدق کند. در کمال تعجب واقعا پاسخ به این سوال منفی است! به کمک قضیه فشردگی می‌توان اثبات کرد اگر مجموعه‌ای از جمله‌ها مدل‌های متناهی اما به دلخواه بزرگ داشته باشد آنگاه یک مدل بی‌نهایت هم دارد، در نتیجه متناهی بودن مفهوم مرتبه اول نیست. همین طور می‌توان نشان داد خوش‌ترتیبی نیز چنین است.

اما جذابیت اصلی همان طور که گفتم وقتی است که پای نظریه به میان می‌آید: نظریه یعنی مجموعه‌ای از جمله‌ها که تحت استنتاج بسته باشند (یا با توجه به قضایای درستی و تمامیت که میگوید استنتاج و استلزام منطقی با هم معادل هستند: نظریه یعنی مجموعه‌ای از جمله‌ها که تحت استلزام منطقی بسته باشند). به خصوص نظریه‌هایی جالب هستند که تمام باشند: نظریه تمام یا کامل یعنی برای هر جمله منطقی، یا آن جمله را نتیجه می‌دهد و یا نقیض آن را (به عبارتی پاسخ همه سوالات را به صورت بله یا خیر می‌دهد و هیچ سوال بی‌جوابی ندارد، نظریه سازگار ماکسیمالی که در اثبات قضیه تمامیت سر و کله‌شان پیدا می‌شود نظریه‌هایی کامل هستند). نظریه به دو طریق ساخته می‌شود، یا از مدل‌ها و یا از جمله‌ها: یک رده مشخص از مدل‌ها را در نظر بگیرید: مجموعه همه جملات صادق در این رده از مدل‌ها یک نظریه است* (مثلا مجموعه همه جمله‌هایی که در همه گروه‌ها صادق است نظریه گروه‌ها را تشکیل می‌دهد). از طرفی مجموعه‌ای از جمله‌ها را در نظر بگیرید: مجموعه‌ی همه استنتاج‌ها از این مجموعه جمله‌ها هم یک نظریه است (برای مثال مجموعه همه جمله‌هایی که از اصول موضوع گروه به دست می‌آید نظریه گروه‌ها است). اما این دو توصیف بی ارتباط به هم نیستند: فرض کنید Mod(A) یعنی رده همه مدل‌هایی که جمله A در آنها صادق است، آنگاه نظریه این رده معادل نظریه‌ای است که از مجموعه همه استنتاج‌های منطقی از A به دست خواهد داد (به عبارتی نظریه گروه‌هایی که از مدل گروه‌ها به دست می‌آید همان نظریه گروه‌هایی است که از استنتاج اصول موضوع گروه به دست می‌آید، به خصوص قضیه درستی و تمامیت این را تضمین می‌کنند چون استلزام منطقی معادل استلزام معناشناختی است).

حالا برگردیم سراغ این سوال که چه نظریه‌ای تمام است؟ نظریه‌ای که تنها از یک مدل به دست آید تمام است (اما لزوما تصمیم پذیر نیست، این مسئله‌ای جدا است)! این واضح است چرا که مدل چیز نامشخصی ندارد، هر گزاره‌ای که مدل آن را برقرار نکند آنگاه نقیض آن را برقرار می‌کند بنابراین اگر مدل را در دست داشته باشیم آنگاه پاسخ همه سوالات را می‌دانیم(باز هم تاکید می‌کنم ممکن است نظریه‌ای که از یک مدل به دست می‌آید ممکن است با وجود تمام بودن، همچنان تصمیم پذیر نباشد، همان طور که منطق گزاره‌ها تمام است اما تصمیم پذیر نیست) (به خاطر همین کامل بودن نظریه‌ای که از مدل خاص به دست می‌آید، برای اثبات قضیه تمامیت سراغ نظریه‌های سازگار ماکسیمال می‌رویم، چون آنها تمام هستند و مدل را تقریبا یکتا تعیین می‌کند، در غیر این صورت آزادی گیج کننده‌ای برای تعیین مدل داشتیم) . این سر نخی به دست می‌دهد که برای تمام بودن نظریه‌ها کجا را باید جست و جو کنیم، فرض کنید مجموعه‌ای از جملات یک نظریه بسازند، این نظریه وقتی تمام خواهد بود که رده همه مدل‌های به دست آمده از آن جملات، مدل‌هایی باشند که به تمام سوالات پاسخ یکسان می‌دهند، اگر دو مدل وجود داشته باشد که به هر سوالی پاسخ مشابه بدهند آنگاه آن دو مدل اصطلاحا معادل مقدماتی هستند و این یعنی نظریه‌ای تمام است که همه مدل‌های آن معادل مقدماتی باشند. البته این را با رابطه یکریخیتی دو مدل اشتباه نگیرید، یکریخیتی بسیار خاص است و معادل مقدماتی بودن دو مدل از یک ریختی نتیجه می‌شود ولی برعکس نه. با این اوصاف اگر همه مدل‌های یک نظریه یکریخت باشند آنگاه نظریه حتما تمام است (به عبارتی چیز نامعلومی از مدل وجود ندارد) اما این رابطه زیادی قوی است و عملا فقط وقتی کار می‌کند که مدل متناهی باشد چرا که قضیه لوون‌هایم اسکولم تضمین کرده که نظریه‌هایی که مدل‌های نامتناهی دارند، می‌توان کاردینال‌های به دلخواه بزرگ داشته باشند که یعنی هر نظریه‌ای با مدل نامتناهی قطعا مدل‌های غیر یکریخت دارد! (در واقع یکریخت بودن مدل‌های یک نظریه خواسته زیادی است، مدل‌ها یا ساختارهای یکریخت عملا "یکسان" هستند، یعنی هر جمله‌ای با هر مرتبه‌ای یا در تمام ساختارهای یکریخت صحیح است یا صحیح نیست، ساختارها یا مدل‌های یک ریخت در واقع واقعا هیچ تفاوتی با هم ندارند)

پس باید برای تمام بودن دنبال شرط ضعیف‌تری بود. شرط ضعیف‌تری که مطرح می‌شود این است: k-جازم بودن، این یعنی همه مدل‌های نظریه با کاردینال k یک ریخت هستند. حال قضیه‌ای هست که می‌گوید اگر نظریه‌ای همه مدل‌هایش نامتناهی باشد و حداقل به ازای یک کاردینال k، k-جازم باشد آن گاه آن نظریه حتما تمام است. البته عکس قضیه صحیح نیست. یکی از نتایج شگفت‌انگیز قضیه اینجاست که نظریه میدان‌های بسته جبری ناشمارا با مشخصه صفر تمام است (در نتیجه نظریه میدان مختلط تمام است).

بقیه‌اش بماند برای بعد، الان حال ندارم زیادی نوشتم.

*این نکته‌ای جالب است، شاید دو مدل را تصور کنیم و بگوییم دو گزاره چون A و B اگر در هر دو برقرار باشد باید همه استنتاج‌هایی که از A وB به دست می‌آید هم در هر دو برقرار باشد، اما مدل واقعا تضمین کرده که این چنین باشد؟ شاید مدل جوری پیچیده باشد که یکی از نتایج منطقی A و B در هر دو صادق نباشد بنابراین مجموعه‌ی این جمله‌ها نظریه نیست، اما در واقع مدل‌ها از قوانین منطق پیروی می‌کنند، یا بهتر بگوییم، قوانین منطق یک کپی ماشینی از قوانین مدل‌ها هستند، یک جورهایی ما هم مدل‌ها را مطابق قوانین منطق ساخته‌ایم هم قوانین منطق را از روی مدل‌ها برداشته‌ایم و همین است که قضیه درستی را برقرار میکند. در واقع فرق عمیقی بین مدل‌های ما و قوانین منطق وجود ندارد، منطق یعنی قوانین مدل، مدل یعنی حاصل از قوانین منطق! هر دو یک جورهایی معادل هستند. مخصوصا منطق خاص مدل‌ها این خاصیت را به خوبی دارد، منطق همان‌گویی است، در نتیجه اگر برقرار نباشد (قضیه درستی صحیح نباشد) آنگاه اصلا معنی گزاره‌ها یعنی چه؟ معنی گزاره‌های غیر اتمی اساسا از قوانین منطق سرچشمه می‌گیرد (معنی گزاره‌های اتمی از مدل سرچشمه می‌گیرد)

پ.ن تصمیم ناپذیری: با وجود قضیه تمامیت منطق مرتبه اول، تصمیم‌ناپذیری آن واقعا عجیب است (همچنان تاکید می‌کنم تصمیم پذیر بودن با کامل یا تمام بودن فرق دارد) اما بیاید ادعای قضیه تمامیت را یک بار دقیق چک کنیم. اگر هر مدلی که A را برقرار کند B را برقرار کند، آنگاه از A استنتاجی برای B وجود دارد. این ادعا را جوری دیگر بیان می‌کنند: اگر نتیجه معناشناسانه مجموعه‌ای از جمله‌ها تناقض باشد (یعنی هیچ مدلی آن مجموعه جمله‌ها را نتواند برقرار کند) آنگاه می‌توان تناقض را از آن مجموعه استنتاج کرد. برای اثبات قضیه عکس نقیض این ادعا را بررسی می‌کنند که با خود ادعا معادل است: اگر مجموعه‌ای از جمله‌ها سازگار باشد (نتوان از آن تناقض را استنتاج کرد) آنگاه آن مجموعه جمله‌ها مدل دارد، نحوه اثبات هم این گونه است که مدل را می‌سازند. حال برگردیم به تصمیم ناپذیری: یعنی نمی‌توان طی یک فرایند شمارش پذیر کارآمد تعیین کرد که یک گزاره همان‌گو است یا خیر، (اما ادعای قضیه هنوز این است که همان‌گوها را می‌توان به دست آورد) احتمال می‌دهم قصه از مقدم قضیه تمامیت شروع می‌شود: در یکی از صورت‌ها مقدم برابر است با «هر مدلی مجموعه G را برقرار کند، گزاره A را هم برقرار می‌کند» در دیگر صورت‌ها مقدم قضیه برابر است با «مجموعه جمله‌های G سازگار است» یعنی نمی توان از آن تناقض را نتیجه گرفت، واقعیت این است که در هر دوی این صورت‌ها چک کردن صحت مقدم شرط غیر ممکن است! چه بحث سازگاری آن چه بحث چک کردن تمام مدلها عملا غیر ممکن است بنا بر این تعجبی ندارد که با وجود تمامیت منطق مرتبه اول، این منطق تصمیم پذیر نیست، یا لااقل من این طور فکر می‌کنم.

پ.ن ناتمامیت: وجود قضیه ناتمامیت منافاتی با وجود قضیه تمامیت ندارد، تمامیت در واقع تمامیت منطق مرتبه اول است ناتمامیت در واقع ناتمام بودن رده‌ای از نظریه‌های اصول موضوعی است، این‌ها اساسا دو چیز متفاوت هستند.

Pas si simple

من هیچ‌وقت با فیلم مختارنامه دلم صاف نشد، نه به خاطر سطح مسخره دیالوگ‌ها در مقایسه با سریال امام علی، نه به خاطر صحنه‌های جنگی شبیه جومونگ، بلکه به خاطر شخصیت پردازی بی‌نهایت ساده‌لوحانه و احمقانه! از هفت فرسخی مشخص بود که عمر سعد شخصیت منفی داستان است، سیاه و شرور و بی‌خود! در مقابل، مختار سفید و روشن، گاهی ممکن است اشتباهی بکند (هر ده قسمت یک بار! آن هم اشتباهی بسیار کوچک) اما در مجموع قهرمان سفیدِ داستان است.

با پدرم که حرف می‌زدم چرا مختارنامه با همان کارگردان نسبت به سریال امام علی شخصیت پردازی بسیار ضعیف و غیرواقعی دارد، ایده اش این بود که سریال امام علی به خاطر حساسیت موضوع به مراتب از لحاظ تاریخی دقیق‌تر بود، اما مختارنامه (حتی کتاب و منابع تاریخی‌اش) به خاطر ماهیت قصه بیشتر قهرمان پروری درون خودش دارد.

با این همه از جامعه مذهبی اطرافم که می‌پرسیدم تقریبا همه از سریال مختار نامه بیشتر لذت برده بودند تا امام علی! شاید بخشی از این اقبال به خاطر ربط مختارنامه به ماجرای کربلا باشد که جامعه مذهبی به مراتب با امام حسین بیشتر ارتباط عاطفی برقرار می‌کنند تا امام علی، شاید بخشی از این اقبال به خاطر ماجرای احساسی‌تر سریال مختارنامه باشد در مقابل سریال امام علی که بیشتر سیاسی است، اما من احساس می‌کنم بخش مهمی از این اقبال به خاطر این هم هست که آدمها حوصله قضاوت شخصیت‌های واقعی را ندارند. قضاوت شخصیت‌های مختارنامه بسیار راحت است، آنها پیچیده و عمیق نیستند، دو دسته بزرگ وجود دارد: خوب‌ها و بدها. و شما به راحتی با دقت در حتی فقط نحوه حرف زدن (مستقل از محتوی کلام) یا حتی در موارد فقط از روی قیافه کاراکتر متوجه می‌شوید که با کدام دسته طرف هستید! تحلیل شخصیت‌ها و اعمال‌شان ساده است و قضاوت آنها بی‌نهایت آسان: آدم‌های خوب چون خوب هستند کارهای خوب می‌کنند، شرورها هم به خاطر ذات بد خودشان شرارت می‌کنند، تمام! مخصوصا وقتی شما نسبت به ماجرا احساساتی باشید ابدا حوصله تحلیل رفتار پیچیده آدمها را ندارید و خیلی راحت است که شخصیت پردازی این چنین باشد تا شما به مغزتان فشار نیاید تا آدمها را تحلیل کنید. اما واقعیت تاریخی همیشه خاکستری و حوصله سر بر است و تحلیل آن با کلیشه «خوب» و «بد» گیج‌کننده: عمر سعد حتی در روز عاشورا حرفهایی می‌زند و کارهایی می‌کند که آدم واقعا تردید می‌کند تا عمر سعد را «شرور مطلق» ببیند (باقی زندگی عمر سعد که واقعا حیرت انگیز است، پدرش جزو اولین کسانی است که در سخت ترین شرایط مسلمان شده ، خودش هم آن قدر برای جامعه اطرافش مورد اعتماد بود که بخشی از سپاه مقابل امام حسین به خاطر اعتبار اخلاقی و دینی عمر سعد راهی میدان شدند!)

القصه قصد من از طرح این مسئله نه فحش دادن به سریال مختارنامه یا ستایش سریال امام علی* که فحش دادن به این گرایش آدم‌ها به قضاوت ساده و دو ارزشی است. آدم‌ها حوصله قضاوت واقعی را ندارند، برای قضاوت واقعی همیشه لازم است به جزئیات بسیار زیاد بپردازید و تقریبا در همه موارد شما هر چه قدر راجع به شخصیت‌های تاریخی بیشتر و دقیق‌تر و پر جزئیات‌تر می‌خوانید کمتر و کمتر جرات استفاده از کلیشه سنتی «فرشته» و «شرور» یا «قهرمان» و «دشمن» را خواهید داشت: امیرکبیر، اسکندر، فتحعلی شاه، عباس میرزا، آقا محمدخان، رضا شاه، فروغی، مصدق، کاشانی، امام خمینی، محمدرضا شاه، رفسنجانی، روحانی، احمدی‌نژاد و.... اگر به هر کدام از این‌ها برچسب کلیشه‌ای «فرشته» یا «شیطان» (یا هر چیز مشابه مثل «قهرمان» یا «خائن») می‌زنید نشانه آن است که آن شخص را درست و پر جزئیات نمی‌شناسید، کتابی در باره‌اش نخوانده‌اید یا دقیق زندگی‌اش را مطالعه نکرده‌اید. وگرنه قضاوت هیچ وقت ساده نیست. هر کدام از این شخصیت‌ها در مقاطعی کارهایی کرده‌اند که اگر بخواهید با همان مدل «فرشته» و «شیطان» زندگی‌شان را تحلیل کنید به مشکل جدی برخورد خواهید کرد.

واقعیت این است که گرایش ما آدم‌ها برای این تحلیل ساده و دو ارزشی کاملا ذاتی است و دلیلی عمیق دارد، این گرایش ما در وهله اول وابسته به نحوه تعامل ما با جهان است: ما جهان را نه به صورتِ خودِ جهان بلکه از طریق مدل‌هایی می‌بینیم که برای تحلیل جهان یا ساخته و پرداخته‌ایم و یا به صورت ذاتی طی فرایند تکامل در ما نهادینه شده (این عمیق‌ترین و مهمترین چیزی است که من از فلسفه علم آموخته‌ام اما واقعا دلایلش محدود به فلسفه علم نیست و اثراتش هم محدود به حوزه علم نیست، برای مثال به کتاب روان شناسی تحلیل اطلاعات رجوع کنید که مامور سیا نوشته برای تحلیل‌گران سازمان و همین دیدگاه را تبیین می‌کند، برای من دست کم چند سال طول کشید تا عمق این تصویر را بفهمم) مدل‌ها هر چه ساده‌تر باشند استفاده از آنها راحتتر است بنا بر این همه گیرتر هستند و خُب، ساده ترین مدل برای تحلیل آدم‌ها مدل «خوب» و «بد» است. اما حقیقتا چطور قرار است اِن میلیارد انسان را بتوانیم این گونه دسته‌بندی کنیم؟ مدل‌های بهتری هم هست مثل مدل 16 شخصیتی MBTI ولی این‌ها هم نواقص خودشان را دارند. در هر صورت مدل کردن آدم‌ها به صورت «خوب» و «بد» گرچه کاملا طبیعی است و گرچه از نظر تحلیلی بسیار به صرفه است اما ابدا نسبتی با واقعیت پیچیده ما آدم‌ها ندارد. تنها خداست که می‌تواند راجع به ما آدم‌ها «به درستی» قضاوت کند.** این نحوه مدل کردن آدم‌ها نه تنها باعث می‌شود که شما اشتباه قضاوت کنید بلکه حتی به لحاظ اخلاقی و دینی هم مخرب است، شما اگر عمر سعد را شروری مطلق در نظر بگیرید هرگز این احتمال را نخواهید داد که روزی شما همان فاجعه را تکرار کنید، چون خودتان را خیلی دور از او می‌بینید. اما اگر او را انسانی پیچیده با ویژگی‌های مثبت زیادی درونش در نظر بگیرید، آن موقع اصلا دور به نظر نمی‌رسد که شما هم فرماندهی سپاهی علیه حقیقت را به عهده بگیرید، ترسناک است نه؟ اما واقعیت است!

*سریال امام علی هم آنچنان خاکستری خاکستری هم نبود، اما به نظرم خیلی بهتر از مختار نامه بود، برای مثال شما تا لحظه آخر دوست ندارید بگوید طلحه آدم خوبی نبوده، یا خیلی جاها با زبیر همدلی می‌کنید، معاویه را شاید درک کنید و عمرو عاص آن شیطان یو ها ها نیست، مالک اشتر گاهی اشتباه می‌کند و جندب ازدی باید به خاطر کشتن کسی در مسجد کفاره بدهد، عمار در زمان عثمان سکوتی اختیار کرده که مالک اشتر با آن مخالف است و....

**البته من جز آدم‌هایی هستم که اعتقاد دارم این اعتراض آدم‌ها که «همدیگر را قضاوت نکنیم» از آن دسته اعتراض‌های بی‌خود است که وقتی آن را می‌شنوم اولین چیزی که به ذهنم می‌رسد این است که طرف یک گندی زده و یک جوری می‌خواهد آن را ماست مالی کند، بله منم موافقم آدم‌ها را نباید به سادگی قضاوت کرد اما اصلا قضاوت نکردن با ساده قضاوت نکردن فرق دارد، اتفاقا نکته نوشته هم این است که شخصیت‌های تاریخی را ساده قضاوت نکنیم، چون ساده نیستند و بی‌نهایت پیچیده‌اند.

پ.ن عنوان: عنوان به فرانسوی یعنی «آنقدرها هم ساده نیست»، نام آهنگی زیبا از yann tiersen است که خیلی دوست دارم. البته که من فرانسوی بلد نیستم.

پ.ن قلعه حیوانات: در رمان قلعه حیوانات جایی هست که می‌خواهند شعارهای انقلاب را به گوسفندان بیاموزند، گوسفندان به دلیل خنگی شعارها را نمی‌فهمند و نهایتا شعار به یک قضاوت دو ارزشی ساده ختم می‌شود: چهار پا خوب، دو پا بد. این مدل به دلیل سادگی به سرعت فراگیر می‌شود، این بلایی است که سر مذهب هم آمده متاسفانه.

پ.ن کلیشه: این که کلیشه‌های ما برای آدم‌ها همان مدل ما از آنها یا همان پارادایم‌ها در فلسفه علم است را من از سارا آموخته‌ام، کلیشه بد نیست، لازم است و تنها راه ما برای درک جهان است، اما نباید زیادی از آن استفاده کرد، باید محدودیت‌های کلیشه را شناخت و تمرین کرد که از آنها دوری کنیم، در عین حال از قدرت تحلیل آن استفاده کنیم.

پ.ن علم: در واقع من این نوشته را نوشتم که مقدمه‌ای باشد برای چیزی که در ذهن دارم: نقد قضاوت‌های ساده دو ارزشی در علم: نسبیت عام اثبات شده، تکامل اثبات شده، مکانیک نیوتونی ابطال شده و.... در علم هم قضاوت هرگز ساده نیست، برای مثال، در مورد قضاوت این که ماده تاریک در کیهان وجود دارد یا خیر شما مجموعه عظیم و پرجزئیاتی از شواهد اغلب متناقض دارید که بعضی ها از وجود ماده تاریک حمایت می‌کنند و بعضی‌ها ناسازگار هستند و با کنار هم قرار دادن آن‌ها باید به نتیجه برسید، اما آدمها دوست دارند قضاوت دو ارزشی داشته باشند: بله یا خیر! شاید جایی دوست داشته باشم با جماعتی حرف بزنم و با مثال‌های زیادی به آنها نشان بدهم قضاوت‌ها در علم هرگز ساده نیست، شاید نه به پیچیدگی قضاوت انسان‌ها اما به سادگی جواب «بله» یا «خیر» نیست. برنامه‌ای که در نظر دارم چیزی شبیه آن برنامه سیاه چاله است که در شهر کتاب دانشگاه داشتیم. نمی‌دانم تا چه پیش آید. اتفاقا این مقدمه یک نتیجه بسیار خوب دارد: ما آدم‌ها با وجود این که آدم هستیم و خودمان پیچیدگی خودمان را می‌بینیم باز هم گرایش به قضاوت دو ارزشی داریم، فیزیک دانان هم شاید خودشان درون فیزیک باشند اما می‌توانند مدل احمقانه و ساده‌ای از ربط مشاهده و نظریه داشته باشند، ولو این که خودشان هر روز با آن کار می‌کنند.

پ.ن هلال: در مورد این رویت هلال عید فطر هم من مطلبی نوشته بودم که خلاصه اش این بود: هیچ تئوری توطئه‌ای در کار نیست، عربستان با معیار خودش 14 خرداد را عید فطر اعلام کرده و درست است و ایران با معیار خودش 15 خرداد را اعلام کرده و آن هم درست است. با این همه جمعی از آدمهای عصبانی زیر آن مطلب ریخته بودند که آقا کار کارخودشان است و شما ماست مالی نکنید و می‌خواستند ارتحال و عید با هم نباشد و چه و چه! دقیقا دلیل چنین عصبانیتی قضاوت دو ارزشی بود: جمهوری اسلامی در هر صورت شرور است بنا بر این حتما اشتباه می‌کند! پس مطلب من ماست مالی است.

پ.ن منطق ریاضی: باید منطق ریاضی را تعطیل کنم تا به بقیه کارهایم برسم اما نامرد جذاب‌تر از همیشه شده است. نظریه مدل‌ها عالی است تازه رسیده‌ام به هسته مرکزی و دلیل اصلی رفتن آدم‌ها سراغ منطق مرتبه اول.

منطق ریاضی 5.1

پیش نویس: اگر خواننده وبلاگ هستید می‌توانید به راحتی این پست‌ها را اسکیپ کنید! اینها خلاصه من از خواندن منطق ریاضی است، دلیل این که چنین چیز بی ربط به رشته ام می‌خوانم به چیزهای مختلفی برمی‌گردد، به علاقه‌ام به فلسفه ریاضی، علاقه خودم به منطق، جست جوی عقلانیت، علاقه‌ام به وارد شدن به بحث‌های فلسفه تحلیلی و فلسفه علم و کلی چیز دیگر و مهمتر از همه این که دیگر کسی برای من زر زر نکند که ریاضیات یا فیزیک منطقی یا منطقی‌تر از باقی چیزهاست، من منطق را در عمیق‌ترین سطح‌اش می‌بینم، منطق نه چیزی است که علم یا ریاضی با آن شروع می‌شود نه ارجاع چیزی به منطق لزوما به آن اعتبار می‌دهد نه حتی آن طور که ملت می‌گویند عینی است، با این همه مستقلا هم چیز جذابی است.

این ورژن دوباره ای است که می‌نویسم (آن یک دهم بعد از 5 در عنوان به خاطر همین است) روزهای پرمشغله کمتر اجازه تمرکز می‌دهد و از قضا این قسمت فنی‌ترین قسمت است که بیشتر از باقی جاها تمرکز می‌خواهد، کتاب دکتر اردشیر و کتاب اندرتون هم کمتر از همیشه واضح شده‌اند و بیشتر از هر زمانی مبهم می‌نویسند! با رفت و برگشت و بین اندرتون و اردشیر سعی می‌کنم بفهمم چه می‌گویند:

منطق مرتبه اول سعی می‌کند گزاره‌های اتمی منطق جمله‌ها را به نحوی ایجاد کند تا توصیف کننده دنیای ریاضی باشند. گزاره‌های اتمی در ریاضی بیشتر شبیه «به ازای هر عضو گروه، عضو معکوس وجود دارد» و چیزهایی شبیه به این هستند اما چنین گزاره‌هایی را چطور می‌توان صورت بندی کرد؟ برای این کار ابتدا سورها اضافه می‌شوند: «به ازای هر » (سور عمومی) و «وجود دارد» (سور وجودی) (البته مراقب باشید که سورها همیشه روی متغیرها هستند و نه توابع و رابطه‌ها، در غیر این صورت به منطق مرتبه دوم و بالاتر می‌رسیم که آن خود موضوعی جذاب است)، سپس متغیرها (چیزهایی که می‌توانند به جای اعضا بنشینند)، نامها و نامهای خاص، توابع و رابطه‌ها به «زبان» منطق اضافه می‌شوند تا دنیای "ساختار"های ریاضی را توصیف کنند، ساختارهای ریاضی هم چیزهایی هستند که از اعضای یک مجموعه و تابع‌ها و رابطه‌های روی آنها به همراه اعضایی خاص یا نام خاص (مثل صفر و یک در میدان) تشکیل شده (من قبلا از نظریه مجموعه‌ها با «ساختار» آشنا بودم) کمی تلاش هم هست که گزاره‌های بامعنا را به کمک این الفبای تازه اضافه شده بسازد و در نهایت به این صورت گزاره‌های اتمی ریاضی «مدل» می‌شوند، گزاره های غیر اتمی که قبلا در منطق جمله‌ها مدل شده‌بودند.(همین اول کار اعلام کنم که این نحو از توسعه به نظر من اعتبار «جدایی نحو از معنا» را کدر می‌کند، قاعدتا توسعه منطق به منطق مرتبه اول با نظر به ساختارهای ریاضی انجام می‌گیرد پس منطقش بی ارتباط به معنا، که ریاضی باشد، نیست)

درستی یا معناشناسی گزاره‌های منطق مرتبه اول کاملا طبیعی است، همان ترجمه فارسی عبارت است اما آنچه تعجب برانگیز، غیر بدیهی و بی‌نهایت جذاب است نقش «مدل» در درستی گزاره‌هاست. البته در منطق جمله‌ها هم درستی گزاره‌ها به «مدل» وابسته بود اما نقش مدل در اینجا از آن هم پررنگ تر است، به طوری که گزاره‌ها نه تنها درستی‌شان وابسته به مدل است بلکه حتی «معنی» گزاره‌ها مطلقا به مدل وابسته است، مدل اینجا همان ساختاری است که گزاره‌ها قرار است آن را توصیف کنند و صد البته چیزی بیش از صرفا خودِ ساختار، مدل در واقع ترجمه جمله‌های زبان مرتبه اول به اشیای ساختار است.

خُب حالا با این مدل پیچیده غیر صفر و یکی، تکلیف یافتن همانگوها چیست؟ گزاره‌هایی که در تمام مدل‌ها درست باشند؟ در منطق جمله‌ها اوضاع خوب بود چون مدل‌های مختلف در واقع ارزشدهی مختلف جمله‌های اتمی بودند اما حالا که مدل‌ها ساختار ریاضی هستند، چک کردن تک تک مدل‌ها برای این که ببینیم جمله‌ای همانگو است عملا غیر ممکن است (در واقع قضایایی وجود دارد که می‌گوید حتی در بعضی موارد به لحاظ تئوری هم غیر ممکن است :)) ) اینجاست که مفهوم استنتاج بیش از منطق جمله‌ها مورد نیاز است: روشی که به ما بگوید از گزاره‌های مشخص چه نتایجی می‌توان گرفت که در هر مدلی درست باشد. مثل منطق جمله‌ها اینجا هم روش‌هایی مختلفی برای استنتاج وجود دارد که البته مهم نیست چیستند، چیزی که مهم است قضیه درستی و تمامیت است، و بحثهایی که از آن سرچشمه می‌گیرد. قضیه درستی بدیهی است؛ آنچه از استنتاج نتیجه می‌شود درست است.

اما تمامیت چه؟ آیا تمامیت برقرار است؟ آیا برای همه همان‌گو استنتاجی هست؟ (یا به طور معادل آیا هر مجموعه سازگار مدل دارد؟) در پاسخ به سوال تمامیت، باید احتیاط به خرج داد. ظاهرا پاسخ «بله» است، اما چطور؟ مثل منطق جمله‌ها تمامیت معادل است با وجود مدل برای هر مجموعه سازگار (یا ناسازگاری هر مجموعه ای که هیچ مدلی ندارد) برای این که چنین ساختاری را بسازیم ساز و کار تا «حدی» شبیه مورد منطق جمله‌هاست: ساخت مجموعه سازگار ماکسیمال و ساختن مدل برای این مجموعه (من هنوز هم درک نکرده ام چرا در این اثباتها مدل این قدر بزرگ است؟ به جای این که مدلی برای مجموعه اولیه گزاره ها بسازند مدلی برای مجموعه ماکسیمال گزاره ها که مجموعه‌ای بیریخت و بسیار بزرگ است می‌سازند، حضور مجموعه‌های بزرگ عجیب نیست چون باید یک جوری نتیجه تمام استنتاج‌ها را داشته باشیم تا ببینیم آنچه راست است استنتاج پذیر است اما حضور مدل بزرگ همچنان برایم عجیب است). اما اینجا تفاوت فاحشی وجود دارد: مدل معنی بسیار پیچیده‌تری نسبت به منطق جمله‌ها دارد، مدلها نه توابعی دو ارزشی روی گزاره‌های اتمی بلکه ساختارهای ریاضی و ترجمه آنها هستند. به همین خاطر باید تغییری در آن روند اثبات قبلی اضافه کنیم، تغییراتی که عمدتا معطوف به ساختن ساختار یا مدل جدید است، بقیه اثبات شبیه منطق جمله‌هاست (البته اینجا به جای مجموعه ماکسیمال، از نظریه ماکسیمال استفاده می‌کنند، نظریه یعنی مجموعه‌ای از گزاره‌ها که تحت استنتاج بسته باشند، مجموعه گزاره های ماکسیمال یک نظریه است اما هر نظریه‌ای ماکسیمال نیست، اما اینجا مفهوم نظریه مهم است) نهایتا اثبات می‌شود که هر مجموعه سازگار از گزاره‌ها مدل دارد (مدل را به طریقی «می‌سازد»)

خُب حالا که تمامیت اثبات شد باید خیالمان راحت باشد که پس هر چه درست باشد استنتاج پذیر است، اما قصه به این سادگی نیست: مجموعه همان‌گوها همچنان تصمیم پذیر نیست!!! (رجوع کنید به پی نوشت مربوط) این عجیب است، احساس می‌کنم در اثبات از اصل انتخاب کامل استفاده شده و باگ قضیه هم دقیقا همین است، مطمئن نیستم، شاید بعدا که برگشتم بیشتر بخوانم. بعد قضیه فشردگی را مطرح می‌کند، فشردگی قضیه‌ای است که شاید در وهله اول خیلی مهم به نظر نرسد اما تضمین می‌کنید که برای این که ببینید یک مجموعه نامتناهی گزاره بخواهد گزاره‌ای خاص را نتیجه دهد شما عملا فقط زیرمجموعه‌ای متناهی را نیاز دارید نه تمام آن نامتناهی گزاره را.

پ.ن شمارش‌پذیری و تصمیم‌پذیری: این دو مفوم نیز جذاب هستند، شمارش‌پذیر (یا شمارش پذیر کارآمد) یعنی روشی وجود دارد که در متناهی گام و به طور مکانیکی اعضای یک مجموعه را شماره گذاری می‌کند، (شاید با اصل انتخاب شمارا احتمالا بتوان اثبات کرد که این روش برای هر مجموعه‌ی شمارا وجود دارد اما این مفهوم مستقل از اصل انتخاب است) تصمیم پذیری یک مجموعه یعنی روشی شمارش‌پذیر وجود دارد که تعیین کند آیا موجودی چون s عضو مجموعه S است یا خیر، این که روش در نهایت باید یا به جواب «بله» برسد یا به جواب «خیر» مهم است، نمی‌شود که به جواب «بله» در صورت وجود برسد ولی به جواب خیر نرسد، بنابر این تمام مجموعه‌های متناهی تصمیم پذیر هستند.

پ.ن ناتمامیت: شاید به ذهن برسد که اگر قضیه تمامیت اثبات می شود پس قضیه ناتمامیت چیست؟ آن می گوید که یک نظریه خاص ناتمام یا ناکامل است نه حساب منطق گزاره ها.

پ.ن1: پدرم در آمد، همه چیز را تعطیل کردم (آن هم وقتی جمعیتی در پی من هستند) یک هفته نشستم ضربی پشتش گذاشتم تا این قضیه تمامیت و کلا این فصل را بفهمم البته خیلی بیشتر، الان 9 ماه است که غیر از منطق ریاضی هیچ کتاب دیگری هم نمی خوانم. ولی فکر می کنم ارزشش را دارد.

پ.ن2: بعدی نظریه مدلها است، به نظر که جذاب می‌رسد، فکر کنم از این به بعد سرازیری باشد.